枚舉排列的三種算法

想不想打印所有排列？

輸入整數n，按字典序從小到大輸出前n個數的所有排列。

1 生成1~n的排列

偽代碼：

void print_permutation(序列A,集合S)
{
    if(S為空) 輸出序列A；
    else按照從小到大的順序依次考慮S中的每個元素
    {
        print_permutation(在A的末尾添加v后得到的新序列，S-{v});
    }
}

下面考慮程序實現。用數組A表示序列A，集合S 不用保存，因為它可以有序列A 完全確定-A中沒有出現的元素都可以選。

代碼：

void print_permutation(int n,int*A,int cur)
{
    if(cur==n)//遞歸邊界
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cout << A[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for(int i = 1;i<=n;i++)//嘗試在A中填入各種整數i
        {
            int ok = 1;
            for(int j = 0;j<cur;j++)
            {
                if(A[j]==i)//如果i已經在A[0]~A[cur-1]出現過，則不能再選
                {
                    ok = 0;
                }
            }
            if(ok)
            {
                A[cur++] = i;
                print_permutation(n,A,cur);//遞歸調用
                cur--;
            }
        }
    }

}

循環變量i是當前考察的A[cur]，上面的程序用到了一個標志變量ok，來看i有沒有在A中出現過，ok為1說明沒有出現就可以把i加到A[cur]處

聲明一個足夠大的數組A，然后調用print_permutation(n,A,0);

2 生成可重集的序列

把問題改成輸入數組P，並按字典序輸出數組A各元素的所有全排列，則需要修改if(A[j]==i)為if(A[j]==P[i])，把A[cur]=i，改成A[cur]=P[i]。

但是如果P中有重復元素就會失效，因為上面的算法是看有無重合元素來判斷P[i]在A[j]中出現過沒有，來決定是不是添加P[i]；

可以統計A[0]~A[cur-1]中P[i]出現的次數c1，和P[i]在P數組中出現的次數c2，只要c1<c2，就能遞歸調用。

代碼：

void print_permutation_2(int n,int*P,int*A,int cur)
{
    if(cur==n)
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cout << A[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            if(!i||P[i]!=P[i-1])
            {
                int c1 = 0,c2 = 0;
                for(int j = 0; j<cur; j++)
                    if(A[j]==P[i])
                        c1++;
                for(int j = 0; j<n; j++)
                    if(P[i]==P[j])
                        c2++;
                int ok = 1;
                if(c1<c2)
                {
                    A[cur++] = P[i];
                    print_permutation_2(n,P,A,cur);
                    cur--;
                }
            }
        }
    }

}

3 解答樹

遞歸函數的調用可用解答樹來表示，

第0層有n個孩子，第一層n-1個孩子，第二層n-2個孩子，...，第n層為葉節點沒有孩子，每個葉子對應於一個排列，共n！個葉子。

如果某些問題的解可由多個步驟得到，而每個步驟都有若干種選擇，可用遞歸算法實現，他的工作方式可由解答樹描述。

一個重要結論：在多數情況下，解答樹上的節點幾乎全部來自於最后一兩層。和他們相比，上面的節點數可以忽略不計。

4 下一個排列

代碼：

void print_permutation_3(int n,int* P)
{
    sort(P,P+n);
    do{
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cout << P[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }while(next_permutation(P,P+n));
}

 代碼匯總：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define max_n 10005
using namespace std;
int A[max_n];
int P[max_n];
/*void print_permutation(序列A,集合S)
{
    if(S為空) 輸出序列A；
    else按照從小到大的順序依次考慮S中的每個元素
    {
        print_permutation(在A的末尾添加v后得到的新序列，S-{v});
    }
}*/
void print_permutation(int n,int*A,int cur)
{
    if(cur==n)//遞歸邊界
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cout << A[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for(int i = 1;i<=n;i++)//嘗試在A中填入各種整數i
        {
            int ok = 1;
            for(int j = 0;j<cur;j++)
            {
                if(A[j]==i)//如果i已經在A[0]~A[cur-1]出現過，則不能再選
                {
                    ok = 0;
                }
            }
            if(ok)
            {
                A[cur++] = i;
                print_permutation(n,A,cur);//遞歸調用
                cur--;
            }
        }
    }

}
void print_permutation_2(int n,int*P,int*A,int cur)
{
    if(cur==n)
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cout << A[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            if(!i||P[i]!=P[i-1])
            {
                int c1 = 0,c2 = 0;
                for(int j = 0; j<cur; j++)
                    if(A[j]==P[i])
                        c1++;
                for(int j = 0; j<n; j++)
                    if(P[i]==P[j])
                        c2++;
                int ok = 1;
                if(c1<c2)
                {
                    A[cur++] = P[i];
                    print_permutation_2(n,P,A,cur);
                    cur--;
                }
            }
        }
    }

}
void print_permutation_3(int n,int* P)
{
    sort(P,P+n);
    do{
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cout << P[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }while(next_permutation(P,P+n));
}
int main()
{
    int P[]={1,2,4,3};
    //sort(P,P+4);
    //print_permutation_2(4,P,A,0);
    print_permutation_3(4,P);
    return 0;
}