矩陣的位移，旋轉，縮放

1. 位移（translation）

對於一個三維坐標（x, y, z），我們想讓它往x軸正方向移動1個單位，往y軸正方向移動1個單位，往z軸正方向移動1個單位，則可以讓它加上一個向量（1, 1, 1）

2. 旋轉（Rotation）

對於一個三維坐標（x, y, z），讓其繞x, y, z軸旋轉θ角的方法是在其左邊乘上一個旋轉矩陣。繞x軸，繞y軸，繞z軸的旋轉矩陣分別是：

 

 

PS：如果我們想更加通用一點，即點（x, y, z）繞軸（u, v, w）旋轉θ的矩陣是什么？
如果u, v, w三者的平方和為1，即該向量是個單位向量，那么矩陣如下：

 

 

3. 縮放（scale）

對於一個三維坐標（x, y, z），我們想讓它擴大2倍，則可以讓它變成（2x, 2y, 2z）。寫成矩陣乘法的話，V2 = M*V1，M如下圖：

 

 

 

 

4. 統一變換

有沒有什么方法讓位移，旋轉，縮放都成為統一的一種形式？
答：將三維坐標轉換為四維坐標，然后使用線性變換。

線性變換（Linear Transformation / Xforms）是渲染和游戲引擎等圖形學工具進行坐標變換的方式，是可逆的。
線性變換的等式如下：
V2 = M*V1

• V是齊次（homogeneous）四維向量（x,y,z,w），豎着寫的
• M是齊次4×4矩陣
• 當w=1時，四維坐標會變成三維坐標

對於三維坐標（x, y, z），將其轉換為四維坐標，可以直接加個1，即變成（x, y, z, 1）
對於四維坐標（x, y, z, w），都除以w即可轉換為三維坐標，即（x/w, y/w, z/w）

1. 四維位移

 

這個圖要從右向左看

從上圖中可以看到，四維位移矩陣，是在一個四維單位矩陣（就是對角線都是1，其他都是0的矩陣）的最后一列，放入你想要位移的向量（tx, ty, tz）

 

2. 四維旋轉

 

繞x軸轉θ

從上圖中可以看到，四維旋轉矩陣，是在我們上面剛說的三維繞軸旋轉矩陣的基礎上，在最后一行和最后一列補上一個（0，0，0，1）。

 

3. 四維縮放

 

從右向左看

和旋轉一個道理。

 

5. 四維變換的性質

1. 可關聯（associative）
   你可以讓一個坐標乘上一個旋轉矩陣，再乘上一個位移矩陣，再乘上一個縮放矩陣，再乘上一個旋轉矩陣………………

2. 旋轉和縮放矩陣可交換（communicative）
   先旋轉后縮放和先縮放后旋轉的結果是一樣的。RS = SR
   位移不滿足交換律
   先位移再旋轉和先旋轉再位移結果是不一樣的！因為旋轉之后模型的正面朝向就變了，所以會向新的方向位移。
   TS!=ST, TR!=RT

3. 對於任何一個線性變換矩陣，我們可以把它拆解（decompose）為TRS或TSR三個矩陣的乘積的形式。

   
   
    

   

    
   
   

   1）首先提取最后一列，得到位移
   2）剩余的矩陣是R和S相乘的矩陣
   我們可以先看一下S和R相乘的結果是什么樣的

   
   
    

   

   SR相乘, 以Z軸旋轉為例
   
   從圖中可以看出，SR矩陣，第一行的平方和開根就是Sx，第二行的平方和開根就是Sy，第三行的平方和開根就是Sz。第一行除以Sx，第二行除以Sy，第三行除以Sz，即可得到旋轉矩陣。

6. 四維變換的逆變換

由於線性變換是可逆的，所以我們可以看一下位移旋轉縮放的逆矩陣。
1. 位移
T的逆矩陣是-T，即向反方向移動。
2. 旋轉
R的逆矩陣是R的轉置矩陣，即以對角線翻轉矩陣。
怎么理解呢？比如R是繞X軸旋轉θ，那么逆操作就是繞X軸旋轉-θ，帶入-θ就會發現它變成了轉置矩陣。
3. 縮放
S的逆矩陣是1/S，即把對角線上的三個元素都變成倒數，即反向縮放。
4. 線性變換Xforms
TSR的逆矩陣 = R的逆×S的逆×T的逆