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邊賦以權值的圖稱為網或帶權圖，帶權圖的生成樹也是帶權的，生成樹T各邊的權值總和稱為該樹的權。
最小生成樹（MST）：權值最小的生成樹。
生成樹和最小生成樹的應用：要連通n個城市需要n－1條邊線路。可以把邊上的權值解釋為線路的造價。則最小生成樹表示使其造價最小的生成樹。
構造網的最小生成樹必須解決下面兩個問題：
1、盡可能選取權值小的邊，但不能構成回路；
2、選取n－1條恰當的邊以連通n個頂點；
MST性質：假設G＝(V,E)是一個連通網，U是頂點V的一個非空子集。若(u,v)是一條具有最小權值的邊，其中u∈U，v∈V－U，則必存在一棵包含邊(u,v)的最小生成樹。
1.prim算法
基本思想：假設G＝(V，E)是連通的，TE是G上最小生成樹中邊的集合。算法從U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}開始。重復執行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的邊(u，v)∈E中找一條權值最小的邊(u0,v0)並入集合TE中，同時v0並入U，直到V＝U為止。
此時，TE中必有n-1條邊，T=(V，TE)為G的最小生成樹。
Prim算法的核心:始終保持TE中的邊集構成一棵生成樹。
注意：prim算法適合稠密圖，其時間復雜度為O(n^2)，其時間復雜度與邊得數目無關。
看了上面一大段文字是不是感覺有點暈啊，為了更好理解我在這里舉一個例子，示例如下：
（1）圖中有6個頂點v1-v6，每條邊的邊權值都在圖上；在進行prim算法時，我先隨意選擇一個頂點作為起始點，當然我們一般選擇v1作為起始點，好，現在我們設U集合為當前所找到最小生成樹里面的頂點，TE集合為所找到的邊，現在狀態如下：
U={v1}； TE={}；
（2）現在查找一個頂點在U集合中，另一個頂點在V-U集合中的最小權值，如下圖，在紅線相交的線上找最小值。
通過圖中我們可以看到邊v1-v3的權值最小為1，那么將v3加入到U集合，（v1，v3）加入到TE，狀態如下：
U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；
（3）繼續尋找，現在狀態為U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；在與紅線相交的邊上查找最小值。
我們可以找到最小的權值為（v3，v6）=4，那么我們將v6加入到U集合，並將最小邊加入到TE集合，那么加入后狀態如下：
U={v1，v3，v6}； TE={（v1，v3），（v3，v6）}； 如此循環一下直到找到所有頂點為止。
（4）下圖像我們展示了全部的查找過程：
克魯斯卡爾（Kruskal）算法（只與邊相關）
算法描述：克魯斯卡爾算法需要對圖的邊進行訪問，所以克魯斯卡爾算法的時間復雜度只和邊又關系，可以證明其時間復雜度為O（eloge）。
算法過程：
1.將圖各邊按照權值進行排序
2.將圖遍歷一次，找出權值最小的邊，（條件：此次找出的邊不能和已加入最小生成樹集合的邊構成環），若符合條件，則加入最小生成樹的集合中。不符合條件則繼續遍歷圖，尋找下一個最小權值的邊。
3.遞歸重復步驟1，直到找出n-1條邊為止（設圖有n個結點，則最小生成樹的邊數應為n-1條），算法結束。得到的就是此圖的最小生成樹。
克魯斯卡爾（Kruskal）算法因為只與邊相關，則適合求稀疏圖的最小生成樹。而prime算法因為只與頂點有關，所以適合求稠密圖的最小生成樹。
而kruskal算法的時間復雜度為O(eloge)跟邊的數目有關，適合稀疏圖。