垂直問題的轉化關系示意圖
<=性質-->B{線面垂直} B--判定=>
<=性質-->C((面面垂直)) C--判定=>
<=性質-->A
前言
完善三種語言：文字語言，圖形語言，符號語言
以及變換場景的應用情形；
常識儲備
(1)體對角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如圖1)
證明：令體對角線\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交點是\(N\)，由正四面體\(B'-ACD'\)可知，
\(N\)是三角形底面的中心，連接\(OD'\)，則易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，
同理\(AD'\perp B'D\)，故體對角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。
(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如圖1，利用等體積法)
(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如圖2)
(4)平面\(ACD'\)與平面\(A'BC'\)的間距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即體對角線的\(\cfrac{1}{3}\)(如圖2)
(5)三棱錐\(B'-ACD'\)是正四面體。三棱錐\(D-ACD'\)是正三棱錐。
(6)如果需要將正四面體或者牆角型的正三棱錐恢復還原為正方體，我們可以先畫出正方體，然后在里面找出需要的正四面體或者牆角型正三棱錐。
(7)圓內接正方形的中心就是圓心，正方形的對角線的長度就是圓的直徑；球內接正方體的中心就是球心，正方體的體對角線的長度就是球的直徑。
(8)正方形的棱長設為\(2a\)，則正方形的內切圓半徑為\(a\)，正方形的外接圓半徑為\(\sqrt{2}a\)，三者的關系之比為\(2:1:\sqrt{2}\)；
正方體的棱長設為\(2a\)，則正方體的內切球半徑為\(a\)，正方體的外接球半徑為\(\sqrt{3}a\)，三者的關系之比為\(2:1:\sqrt{3}\)；
(9)正三角形的棱長設為\(2a\)，則正三角形的內切圓半徑為\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圓半徑為\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的關系之比為\(2\sqrt{3}:1:2\)；
正四面體的棱長設為\(2a\)，則正四面體的內切球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面體的外接球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的關系之比為\(2\sqrt{6}:1:3\)；
判定難點
-
主從關系的轉換，比如證明\(A_1F\perp DE\)不容易時，我們轉而證明\(DE\perp A_1F\)可能很容易。山重水復疑無路，柳暗花明又一村。
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區分清楚判定定理和性質定理。
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垂直關系的相互轉化
典例剖析
- 線線垂直
分析：由於題目中給定點\(O\)是下底面的中心，故我們想到也做出上底面的中心\(E\)，如圖所示，
當連結\(CE\)時，我們就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以說明；
由於\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，則可知\(A_1O//CE\)，
又由於\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故選\(C\)，
此時，我們也能輕松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三個選項是錯誤的。
- 線面垂直
(1)求證：\(EF\perp 平面BCG\)
分析提示：只要證明\(AD\perp 平面BCG\)
(2)求三棱錐\(D-BCG\)的體積。
分析：在平面\(ABC\)內，作\(AO\perp BC\)，交\(CB\)延長線於\(O\)，由平面\(ABC\perp BCD\)，可知\(AO\perp 平面BDC\)，
由\(G\)到平面\(BCD\)距離\(h\)是\(AO\)長度的一半，在\(\Delta AOB\)中，\(AO=AB\cdot sin60^{\circ}=\sqrt{3}\)，
故\(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta DBC}\cdot h\)\(=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\)\(\cdot sin120^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\cfrac{1}{2}\)。
- 面面垂直
求證：(1)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\).
分析：現在需要\(\Leftarrow\)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)
\(\Leftarrow\)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)內的某直線\(?\)
某條直線可能是三角形的邊界線，三角形中線，高線，中位線，或者需要我們做出的某條輔助直線。
證明：因為\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(BC\)的中點，則有\(DE//AC//A_1C_1\)，
又因為直線\(A_1C_1\subsetneqq\)平面\(A_1C_1F\)，
\(DE\not\subseteq\)平面\(A_1C_1F\)，則直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)。
求證(2)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\).
分析：\(\Leftarrow\)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\)
\(\Leftarrow\)一個面內的某條直線\(\perp\)另一個面內的兩條相交直線。
此時往往需要結合圖形及已知條件來確定，比如將一個面內的某條直線暫時確定為直線\(A_1F\)，
那么此時就需要在另一個平面\(B_1DE\)內找兩條相交直線，且都要能證明和直線\(A_1F\)，
如果能找到，則這樣的思路就基本固定下來了，
思路一大致為：\(A_1F\perp\begin{cases}B_1D\\ DE\end{cases}\)，
從而轉證\(DE\perp A_1F\)，從而轉證\(A_1C_1\perp A_1F\)，
從而轉證\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，
從而轉證\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；
思路二大致為：\(B_1D\perp\begin{cases}A_1F\\ A_1C_1\end{cases}\)，
從而轉證\(A_1C_1\perp B_1D\)，
從而轉證\(A_1C_1\perp\)包含\(B_1D_1\)的平面\(ABB_1A_1\)，
從而轉證\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；
證明：你能自主寫出證明過程嗎？
【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要證明\(A_1F\perp DE\)時，包含了視角上的轉換，如證明\(A_1F\perp DE\)不容易時，我們轉而證明\(DE\perp A_1F\)，即轉證\(A_1C_1\perp A_1F\)，從而接下來就可以考慮證明線面垂直，從而轉證\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，
(1).求證：平面\(BEF\perp\)平面\(PCD\).
證明：因為\(E\)為\(CD\)的中點，\(CD=2AB\)，則\(AB=DE\)，又因為\(AB//CD\)，所以四邊形\(ABED\)為平行四邊形。
又因為\(BC=BD\)，\(E\)為\(CD\)的中點，故\(BE\perp CD\)，則四邊形\(ABED\)為矩形，則\(AB\perp AD\)。
又因為\(AB\perp PA\)，\(PA\cap AD=A\)，所以\(AB\perp 平面PAD\)。
又因為\(AB//CE\)，所以\(CD\perp 平面PAD\)，所以\(CD\perp PD\)。
又因為\(EF//PD\)，所以\(CD\perp EF\)。又因為\(CD\perp BE\)，所以\(CD\perp 平面BEF\)。所以平面\(PCD\perp 平面BEF\)。
(2).求直線\(PD\)與平面\(PBC\)所成角的正弦值。
待補充。