原論文：https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall05/cos528/handouts/Efficient Planarity.pdf
一種 \(O(n)\) 判斷圖平面性的做法
兩個引理
引理 1：一個圖是平面圖的必要條件是 \(m\le 3n-6\)
廣為人知
引理 2：在一個平面圖中，設 \(p_1,p_2,p_3\) 是三條從 \(x\) 到 \(y\) 的路徑，任意兩條只有 \(x,y\) 兩個公共點，設其第一條邊分別是 \((x,v_1),(x,v_2),(x,v_3)\)，其最后一條邊分別是 \((w_1,y),(w_2,y),(w_3,y)\)，若 \(x\) 周圍的邊按照順時針順序依次是 \((x,v_1),(x,v_2),(x,v_3)\)，那么 \(y\) 周圍的邊按照順時針順序是 \((w_1,y),(w_3,y),(w_2,y)\)
證明可以根據 Jordan curve theorem 直接得到，而其證明比較復雜
概述
原論文的圖都是從下往上畫的，於是下面想象一顆搜索樹的時候盡量讓根在最底下
對於圖 \(G\)，顯然他是一個平面圖等價於他的所有點雙連通分量都是平面圖，可以把每個雙連通分量圍繞在割點周圍
那么現在討論 \(G\) 是一個點雙連通圖的情況
對 \(G\) dfs 建出 dfs 樹，記錄下 dfs 序並將 \(u\) 重標號為 \(dfn(u)\)，然后將每條樹邊重定向為 dfs 樹上的父親指向兒子，每條返祖邊重定向為后代指向祖先（無向圖的 dfs 樹只有樹邊和返祖邊）
下面的所有討論都基於如上的假設
現在找到 \(G\) 中的一個環：\(C:1\rightarrow u_1\rightarrow u_2\rightarrow \cdots \rightarrow u_n \rightarrow 1\)，在整個環上，前面的邊都是樹邊，只有 \(u_n \rightarrow 1\) 是返祖邊
現在刪掉 \(C\)，那么 \(G\) 中會剩下若干個連通塊，我們稱之為 Segment；對於每個 Segment，要么是由單一的一個返祖邊組成，要么是某 \(u_i\) 的一個兒子 \(v\) 以及他子樹中的所有邊（從子樹出發的所有樹邊、返祖邊）以及邊 \((u_i,v)\) 組成
由於每個 Segment 中不會存在形如 \(x\rightarrow u_i\rightarrow y\) 的路徑，所以每個 Segment 都會全部在環 \(C\) 的內側或外側
下面用 \(x\rightarrow y\) 表示一條從 \(x\) 到 \(y\) 的邊，用 \(x\Rightarrow y\) 表示一條 \(x\) 到 \(y\) 的經過多條邊的路徑
考慮尋找雙連通分量時的 tarjan 算法，定義出 \(low(u)\)，類似的，定義出嚴格次小值 \(low2(u)\)（當 \(low(u)=low2(u)=u\) 時，可忽略嚴格的要求）
考慮每個 Segment 對應了一個環 \(C_v:u_i\rightarrow v\Rightarrow low(v)\Rightarrow u_i\)，我們將這個環作為此 Segment 的 外輪廓，那么若按照從外往里的順序嵌入，則這個 Segment 的其他部分都被嵌入到了 \(C_v\) 的里面，因此就不會影響到其他的 Segment
那么有一個大概的思路：
- 依次考慮 \(G\) 的每一個 Segment，所在嵌入環 \(C\) 和其他已經嵌入的 Segment 后，該 Segment 的外輪廓 \(C_v\) 不能在被嵌入，則 \(G\) 不是平面圖
- 否則，嘗試遞歸判斷該 Segment 是否可以平面嵌入
- 具體的，就是把 \(C_v\) 當作遞歸下去后的環 \(C\)，然后刪掉他就又得到了若干小 Segment
Pathfinding
首先考慮如何找到一條合適的路徑 \(v\Rightarrow low(v)\) 將其作為外輪廓的一部分
一個想法是讓 \(low\) 最小的邊在鄰接表中先被遍歷到，然后沿着鄰接表往下走
具體的，考慮給當前 Segment 的邊集划分為若干個子集，每個子集是一條路徑（或者按照上文說是一個輪廓），先給一個點的所有出邊進行排序，定義邊權：
對這些邊權從小到大桶排序來保證復雜度
引入 \(low2\) 是因為要把 \(low2\) 更小的路徑放在內側防止它把別的路徑擋住（具體的用處會在后面的某些證明中用到）
排序后遍歷時，依次經過每一條邊：經過一條樹邊，把他加進正在構建的那條路徑中；經過返祖邊，將這條邊作為目前構建的這條路徑的最后一條邊，下一條經過的邊會在一個新的路徑中
如圖（注意這個圖是從下往上畫的搜索樹，左圖是找到的若干路徑，右圖是划分出的若干 Segment）：
那么這些路徑的形態，就是若干條（可能為零）樹邊加上一條返祖邊結尾，因為圖是雙連通的，那么有 \(low(1)=1\) 以及 \(low(u)<u(u\neq 1)\)
於是對於路徑 \(p:s\Rightarrow t\) 必定是 \(s=t=1\)，形成一個環；或者 \(p\) 是一條簡單路徑，\(t\) 是 \(s\) 的祖先，路徑 \(t\Rightarrow s\) 完全由樹邊組成
考慮其他性質：
性質 1：若有路徑 \(p:s\Rightarrow f\)，那么當走過這個路徑上的第一條邊時，考慮所有還沒有被用到的返祖邊（每條路徑對應一個返祖邊），\(f\) 是通過 \(s\) 的某后代的一條返祖邊可以到達的最小的點；對於路徑中的一個不是端點的節點 \(x\)，\(f\) 是他可以到達的最小點
顯然，這兩點都可以通過對鄰接表的排序方式來簡單理解
性質 2：若有 \(p_1:s_1\Rightarrow f_1,p_2:s_2\Rightarrow f_2\) 是按照如上方式生成的兩條路徑，如果 \(p_1\) 在 \(p_2\) 之前被生成，且 \(s_1\) 是 \(s_2\) 的祖先，那么有 \(f_1\le f_2\)
從性質 1 進一步擴展，\(p_2\) 結束的那條返祖邊（\(f_2\) 結尾）一定是從 \(s_1\) 的某個后代發出的，而 \(p_1\) 先生成所有這條返祖邊還沒被用，於是他不可能比 \(f_1\) 還得，就有了 \(f_1\le f_2\)
性質 3：對於兩條起點終點相同的路徑 \(p_1:s\Rightarrow f,p_2:s\Rightarrow f\)，設 \(v_1,v_2\) 分別是兩條路徑上的第二個點，若 \(p_1\) 在 \(p_2\) 之前被生成，且 \(v_1\neq f,low2(v_1)<s\)，則有 \(v_2\neq f\) 以及 \(low2(v_2)<s\)
由於產生順序，臨界表中 \(v_2\) 被排序在了 \(v_1\) 的后面，而 \(low(v_1)=low(v_2)=f\)，則可以得知 \(v_2\neq f\) 以及 \(low2(v_2)<s\)
這個性質在一定程度上體現了引入 \(low2\) 的必要性
Embedding the Path
按照上面方法找到的若干條路徑，顯然每條路徑必定處於同一個 Segment 中
一個 Segment 包含的所有路徑一定是被連續生成的，且 Segment 的被發現順序按照 \(u_i\) 從大到小（考慮上面的圖）
考慮加入一個新 Segment \(S\) 時，環 \(C\) 和其他在他之前發現的 Segment 都已經被嵌入，檢查其第一條路徑是否可以嵌入，若可以，再遞歸判斷剩下的
之前說過一個 Segment 必定全部被嵌入到環 \(C\) 的同一側，后面描述某由 \(u_i\) 的一個兒子 \(v\) 的子樹中的所有邊組成的 Segment \(S\) 被嵌入到了環 \(C\) 的左邊，意思是圍繞 \(u_i\) 的點按照順時針分別是 \((u_{i-1},u_i),(u_i,v),(u_i,u_{i+1})\)
描述某 Segment \(S\) 被嵌入到了環 \(C\) 的右邊，意思是圍繞 \(u_i\) 的點按照順時針分別是 \((u_{i-1},u_i),(u_i,u_{i+1}),(u_i,v)\)
（再次說明想象一顆搜索樹的時候讓根在下面）
有以下定理
考慮某條划分出的路徑 \(p:u_i\Rightarrow u_j\)，他可以被嵌入到環的左邊（右邊）當且僅當不存在一條返祖邊 \((x,u_k)\) 在此之前被嵌入到了環的左邊（右邊），且滿足\(v_j<v_k<v_i\)
簡單證明：
若不存在滿足條件的返祖邊，那么只要把 \(p\) 和環 \(C\) 貼的足夠近，就一定可以嵌入而不影響其他部分
若存在返祖邊 \((x,u_k)\)，可能有 \(x\) 就在環上也就是 \(x=u_l\)，也可能有 \((x,u_k)\) 在某 Segment \(S'\) 上，此時設 \(S'\) 的第一條邊是 \((u_l,v)\)
由於 \(S'\) 先被發現，考慮生成路徑的順序，有 \(u_l\ge u_i\)，下面以往左邊嵌入為例分類討論（下圖中 \(v\) 數組對應文中 \(u\) 數組）：
- \(u_l>u_i\)，如圖 (a)，考慮從 \(u_j\) 到 \(u_l\) 的樹邊，構成了三條從 \(u_i\) 到 \(u_k\) 的邊，必定相交，違反引理 2
- \(u_l=u_i\)，路徑 \(p_1:u_l\Rightarrow u_m\) 是 Segment \(S'\) 中的第一條路徑，根據之前 Pathfinding 中的性質 3，有 \(u_m\le u_j\)
- \(x=u_l\)，就是返祖邊的起點也在環上，此時根據給出邊的排序方式必定有 \(u_k\le u_j\)，矛盾；於是后面不用再考慮這種情況，Segment \(S'\) 至少要有兩條邊，也就是了 \(v\neq u_m\)
- \(u_m<u_j\)，如圖 (b)，考慮 \(p:u_i\Rightarrow u_j\) 以及從 \(u_k\) 到 \(u_i\) 的所有樹邊，會產生三條從 \(v_k\) 到 \(v_i\) 的路徑違反引理 2
- \(u_m=u_j\)，如圖 (c)，之前說 \(v\) 是 \(p_1\) 中的第二條邊，現在再設 \(p\) 上的第二條邊是 \(y\)，那么由於 \(v\neq u_m,low2(v)\le u_k< u_l\)，於是現在對 \(p,p_1\) 應用 Pathfinding 中的性質 3，得到 \(y\neq u_j,low2(y)<u_m\)
更進一步，由於 \(low(y)=v_j\)，可以得知 \(low2(y)>v_j\)，於是 \(low2(y)\) 的位置就如圖所示了（但 \(low2(y)\) 和 \(u_k\) 的位置關系其實是未確定的）
於是可以構造出三條從 \(v_k\) 到 \(low2(y)\) 的路徑（一條走 \(p\)，一條 \(p_1\)，一條他們之間的樹邊）
於是就可以根據以上定理判斷一條路徑能否被嵌入
找到要嵌入的 Segment \(S\) 中的第一條路徑 \(p\)，嘗試將 \(p\) 嵌入到環 \(C\) 的左側，檢查所有返祖邊來確定能不能直接將 \(p\) 嵌入；如果不能，把所有擋住了 \(p\) 的返祖邊（也就是邊 \((x,u_k)\)）從 \(C\) 的左側轉移到右側，如果這樣搞完產生了其他沖突（某些在右側的邊需要移動到左側）就說明 \(G\) 不是平面圖
否則就遞歸嵌入其他路徑
如何維護？
考慮 \(L\) 按順序存入滿足 \(1\Rightarrow u_k\Rightarrow u_i\)，且有返祖邊 \((x,u_k)\) 被嵌入到了環的左邊的 \(u_k\)，當然若存在多條這樣的返祖邊，同一個 \(u_k\) 可能在其中出現多次
同理維護 \(R\)
- 當結束了 \(u_{i+1}\) 的所有 Segment 的嵌入，從 \(L,R\) 中刪去 \(u_i\)
- 若 \(p:s\Rightarrow f\) 是 Segment \(S\) 的第一條線段，且 \(f\neq 1\)，那么嵌入 \(p\) 后將 \(f\) 加入 \(L\) 或 \(R\) 中
- \(p\) 能被嵌入到左邊（右邊）當且僅當 \(L(R)\) 中最大元素小於等於 \(f\)
- 當嵌入產生沖突，需要把 \(L(R)\) 中的一部分點轉移到 \(R(L)\) 中
- 當確定了一條返祖邊在左（右）邊后，他要求和他在同一個 Segment 中的所有返祖邊在同一側，同時要求另一些返祖邊在異側。於是定義一個 block 是一個極大的，滿足其中一個的位置（左或右）被確定，剩下的都被確定的集合
發現這個 \(L,R\) 就是棧，第二個操作能用棧做的原因是要插入的話一定是最大的，所以直接放到棧頂
對於一個 block，有如下性質：
對於 block \(B\)，\(B\cap L(B\cap R)\) 在 \(L(R)\) 上是連續的一段
基於此性質，可以用 \((x,y)\) 來維護一個 block，分別表示他在 \(L\) 和 \(R\) 中的最小元素
那么嵌入 \(p\) 前先把沖突的交換掉，然后再把那些沖突的 \(u_k\) 的 block 和 \(p\) 的 block 合並起來
可以對過程歸納得到上面的性質
回溯的處理
遞歸下去是簡單的，但當遞歸處理完某個 Segment 時，由於選定環的不同會帶來一些問題
設原來選定的環 \(C\) 是 \(u_1\rightarrow u_2\rightarrow \cdots\rightarrow u_n\rightarrow u_1\)，而遞歸進某 Segment 后選定的環 \(C\) 是 \(u_i\rightarrow v\Rightarrow u_j\Rightarrow u_i\)
設維護每個 block 的點對的棧叫做 \(B\)
那么 \(L,G,B\) 中，所有大於等於 \(u_i\) 的部分與原來的 \(C\) 無關，可以刪掉
所有在區間 \((u_j,u_i)\) 中的部分，由於在遞歸進新環時可能被放在了新環的不同側，但此時要求他在原環的同一側（因為處於同一個 Segment 中），那么就要把他往同一側移動並合並 block，移動不了就不是平面圖
實現細節
由於這些合並操作以及如上 block 的性質的存在，\(L,R\) 用鏈表維護更好
用一個棧 \(B\) 來對於每個 block 維護點對 \((x,y)\)，若某 block 不存在 \(L(R)\) 中的點，那么 \(x(y)\) 的值就是 \(0\)
\(R\) 中需要加入一些特殊標記來區分原來環 \(C\) 的信息和遞歸下去新的環 \(C\) 的信息