圖論：平面圖的對偶圖

平面圖我們離散課上講過，在二維空間中可以寫成不交叉邊的圖就是平面圖，最小的非平面圖有K5和K（3,3）

每個平面圖都對應一個對偶圖，對偶圖中的最小環就是原圖的最小割

如果刪去對偶圖中s-t這條邊，就是相當於求最短路了

把原圖中每個點在對偶圖中標號，重新建圖，在新圖中跑最短路就行了

然后看一下平面圖和對偶圖之間的轉化：

對偶圖中的每一個點即為平面圖中的某一個面，對偶圖中任意兩點間的線都是平面圖中對應兩平面公共邊的割線，如果平面圖中某一條邊只屬於一個面，那么在對偶圖中就是一個環邊

對偶圖的邊數等於平面圖的邊數，對偶圖的點數等於平面圖的面數

 

針對BZOJ1001

①把每一個圖中的面積塊當作新的點。
②每一條邊都與兩個面相連，把面看作點后，這條邊連接這兩個面化作的點，權值不變。
③連接起點與終點，把外面的最大平面分成兩份，分別為最短路的起點與終點。
④跑一邊最短路即可。

我感覺難在建圖上，別的都非常好說

建圖必須好好研究一下

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int maxn=2000005;
int n,m,nm,cnt;
bool vi[maxn];
int dis[maxn],g[maxn],q[maxn];
struct Edge
{
    int t,next,w;
}e[4*maxn];
void insert(int u,int v,int w)
{
    cnt++;e[cnt].t=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;
    cnt++;e[cnt].t=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;
}
void spfa()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[0]=0;
    int h=0,t=1;
    q[t]=0;
    vi[0]=1;
    while(h!=t)
    {
        h=h%maxn+1;
        int u=q[h];
        vi[u]=0;
        for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)
        {
            int v=e[tmp].t;
            if(dis[v]>dis[u]+e[tmp].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[tmp].w;
                if(!vi[v])
                {
                    t=t%maxn+1;
                    vi[v]=1;
                    q[t]=v;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    nm=(n*m-m-n+1)<<1;
    int x;
    for(int j=1;j<m;j++)
    {
        scanf("%d",&x);
        insert(j,nm+1,x);
    }
    for(int i=1;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            insert((i<<1)*(m-1)+j,((i<<1)-1)*(m-1)+j,x);
        }
    }
    for(int j=1;j<m;j++)
    {
        scanf("%d",&x);
        insert(0,((n<<1)-3)*(m-1)+j,x);
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if(j==1) insert(0,(i<<1)*(m-1)+m,x);
            else if(j==m) insert((i<<1|1)*(m-1),nm+1,x);
            else insert((i<<1)*(m-1)+j-1,(i<<1)*(m-1)+j+m-1,x);
        }
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            insert((i<<1|1)*(m-1)+j,(i<<1)*(m-1)+j,x);
        }
    }
    spfa();
    printf("%d",dis[nm+1]);
    return 0;
}