二分查找模板

一、查找精確值

從一個有序數組中找到一個符合要求的精確值（如猜數游戲）。如查找值為Key的元素下標，不存在返回-1。

//這里是left<=right。
//考慮這種情況：如果最后剩下A[i]和A[i+1]（這也是最容易導致導致死循環的情況)首先mid = i,
//如果A[mid] < key，那么left = mid+1 = i +1，如果是小於號，則A[i + 1]不會被檢查，導致錯誤
int left = 1,right = n;
while(left <= right)
{
   //這里left和right代表的是數組下標，所有沒有必要改寫成mid = left + (right - left)/2;
  //因為當代表數組下標的時候，在數值越界之前，內存可能就已經越界了
  //如果left和right代表的是一個整數，就有必要使用后面一種寫法防止整數越界
        int mid = (left + right) / 2;
    if(A[mid] == key)
      return mid;
    else if(A[mid] > key)//這里因為mid不可能是答案了，所以搜索范圍都需要將mid排除
      right = mid - 1;
    else
      left = mid + 1;
}
return -1;

二、查找大於等於/大於key的第一個元素
這種通常題目描述為滿足某種情況的最小的元素。

int left = 1,right = n;
while(left < right)
{
  //這里不需要加1。我們考慮如下的情況，最后只剩下A[i],A[i + 1]。
  //首先mid = i，如果A[mid] > key，那么right = left = i，跳出循環，如果A[mid] < key，left = right = i + 1跳出循環，所有不會死循環。
  int mid = (left + right) / 2;
  if(A[mid] > key)//如果要求大於等於可以加上等於，也可以是check(A[mid])
    right = mid;
  //因為找的是大於key的第一個元素，那么比A[mid]大的元素肯定不是第一個大於key的元素，因為A[mid]已經大於key了，所以把mid+1到后面的排除
  else
    left = mid + 1;
  //如果A[mid]小於key的話，那么A[mid]以及比A[mid]小的數都需要排除，因為他們都小於key。不可能是第一個大於等於key的元素，
}

三、查找小於等於/小於key的最后一個元素

這種通常題目描述為滿足某種情況的最大的元素。如Leetcode69題，求sqrt(x)向下取整就是這種模板。

int left = 1, right = n;
while(left < right)
{
  //這里mid = (left + right + 1) / 2;
  //考慮如下一種情況，最后只剩下A[i],A[i + 1]，如果不加1，那么mid = i，如果A[mid] < key，執行更新操作后，left = mid，right = mid + 1，就會是死循環。
  //加上1后，mid = i + 1,如果A[mid] < key，那么left = right = mid + 1,跳出循環。如果A[mid] > key，left = mid = i，跳出循環。
  int mid = (left + right + 1) / 2;
  if(A[mid] < key)
    left = mid;//如果A[mid]小於key，說明比A[mid]更小的數肯定不是小於key的最大的元素了，所以要排除mid之前的所有元素
  else
    right = mid - 1;//如果A[mid]大於key，那么說明A[mid]以及比A[mid]還要大的數都不可能小於key，所以排除A[mid]及其之后的元素。
}

四、總結
最后兩種情況的循環跳出條件是left<right，為什么不是小於等於呢？因為我們的區間變換思路是不斷的舍去不可能是解的區間，最后只剩下一個數就是我們的解。而第一種情況就算最后只剩一個數也有可能不是解，所以需要使用小於等於。

查找精確值，循環條件是小於等於；查找滿足情況的最大最小值，循環條件是小於。
查找滿足條件的最大數，mid = (right + left + 1) / 2；查找滿足條件的最小數，mid = (right + left)/2
mid = left + (right - left) / 2，不是適用於所有的情況。
如果存在沒有解的情況，比如從[1,2,3,4,5]找出大於等於6的第一個數，我們只需要將最后剩下的數單獨進行一次判斷就可以了。

 

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