二分查找
1.概念
如果想要在數組中查找一個數，最基本的方法就是暴力解法：一次遍歷，這時候時間復雜度是O(N),二分查找就是其中的一種優化，時間復雜度是O(logN);具體做法是一步一步逼近直到找到。前提是數組需要是一個排序數組。
定義：二分查找也稱折半查找（Binary Search），是一種在有序數組中查找某一特定元素的搜索算法。我們可以從定義可知，運用二分搜索的前提是數組必須是有序的，這里需要注意的是，我們的輸入不一定是數組，也可以是數組中某一區間的起始位置和終止位置
2.過程
- 1.二分查找先初始化一個搜索空間，然后再這個搜索空間上去尋找某個值，注意這個搜索空間是有某種規律，比如說是有序的；
- 2.因為這種規律，直接去看中間值，如果判斷中間值和我們想要的結果的關系，比如搜索數字，看中間值和目標值的大小關系；
- 3.如果mid>t,那證明應該去前半部分搜索；如果mid<t,那說明該去前半部分搜索；
- 4.然后接着在新的搜索空間執行2，3；
關鍵
Knuth 大佬（發明 KMP 算法的那位）怎么說的：
Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky...
思路很簡單，細節是魔鬼；
3.模板
//循環寫法；
public int binarySearch(int[] nums, int target){
int left = 0, right = num.length-1;
while(left <= right){ //細節1：循環條件；
int mid = left + ((right-left) >> 1);
//細節2：防止溢出，此外需要注意由於優先級的原因，需要添加括號；
if(nums[mid] == target){
return mid;
}else if(nums[mid] < target){
left = mid + 1; //細節3：注意加減1；
}else{
right = mid - 1;
}
}
return -1
}
//遞歸寫法：
public int binarySearch(int[] nums, int target, int left, int right){
if(left <= right){
int mid = left + ((right-left)-1);
if(nums[mid] == target){
return mid; //查找成功；
}else if(nums[mid] > target){
return binarySearch(nums, target, left, mid-1); //新的區間：左半區間；
}else{
return binarySearch(nums, target, min+1, right); //新的區間: 右半區間；
}
}
return -1;
}
上述功能就是如果能在數組中找到目標值，就返回其索引，如果找不到，就返回其下標；如果目標值比中間值還大，那肯定在中間值右側(因為數組已經排序好了)，如果目標值比mid值小，那肯定在mid左側。
- 細節1：為什么while循環的條件時<=?
因為我們初始化的時候右側區間是nums.length-1;所以是包括right的，即我們的區間是[left,right],這樣一個左閉右閉的區間，把這個區間理解成搜索區間，即我們是在這樣一個區間上搜索，那什么時候停止呢，兩個原因：- 1.找到了目標值，那就停止；
- 2.沒找到目標值，但是搜索區間為空了，沒得找了，這時候停止；
所以在最后一個=的時候，比如[2,2]這時候區間還不為空，萬一就是這個2呢。
- 細節2：為什么寫成left+((right-left) >> 1);
這主要是為了防止溢出，記住就可以了，注意除以2,用位運算的話會比較快一點，而且記得帶外面那個大括號； - 細節3： 為什么left = mid + 1，right = mid - 1？
想一下剛才搜索區間的概念，如果發現了索引mid不是要找的target，那自然要從將mid剔除掉，從mid的左邊或者右邊找起來了。
缺陷：上述算法存在一個缺陷就是不能返回左右側邊界，比如數組是[1,2,2,2,3], target是2，這時候返回的索引是2，沒有辦法返回左右邊界。
4.樣例
仔細體會上面3個樣例。
- 1.解決了上面說到的不能返回左右邊界的問題；
- 2.這個問題是不完全有序數組的二分查找；基本思路就是將其往排序數組上趕，比較mid和left來確定是前半段有序還是后半段有序；
- 3.是二分查找的一個問題，並不僅僅是查找某個值某個元素，重點去感受最后的left=right=mid；體會最后跳出循環的返回值；
5.體會
- 當寫成這樣時：返回的left是第一個>=target的值的索引。
- 如果原數組有target返回的就是第一個target的索引；
- 如果沒有那就是第一個比target大的值的索引(或者可以理解為要將target插入的位置索引)；
之所以有上面的結論就在於最后一步一定是left=right=mid，而且mid左側都<t,mid右側都>=t,這時候執行判斷，如果mid大於等於target，那就返回它了，也就是left，如果<target,那就執行left+1，返回的就是第一個>=target的值；
while(left <= right){
int mid = left + ((right-left) >> 1);
if(target <= nums[mid]){ //將等於合並過來；
right = mid-1;
}else{
left = mid+1;
}
}
return left; //第一個比大於等於target的索引；
- 注意查看上面中提到的二分法的模板和細節，注意什么時候帶等號，什么時候不帶等號；
- 二分查找本質上就是一個不斷縮小搜索空間的過程，比如我們找出某個值，就是在不斷的把空間縮小；找出哪個數字亂序，也在不斷的把空間縮小；求一個數的開根號，不斷的縮小空間然后拿值去逼近。這個過程要多想一下，就是我們不斷的縮小空間，然后每次都是拿這個空間上的中間值去做某種判斷，然后去逼近我們的結果。
- 二分查找應用的前提就是一定是一個有序的，或者半有序的，如果是半有序的話原則是就是不斷向有序上去趕，因為只有在有序的時候才能去二分；
- 上面提供的二分查找的模板要始終明白在最后一步跳出循環前兩點：
- 1.最后一步一定是right=left=mid。
- 2.mid左側和右側一定是已經有了規律的了。比如查找值的時候，mid左側都比t值小，mid右側都比t值大；比如判斷從哪個數字開始亂了，mid左側一定是整齊的，mid右側一定是亂的。那這時候只要去判斷一下mid的值就可以了。如果mid>t或者說mid亂了，那正好返回left也就是mid，如果mid<t或者說mid沒亂，那left=mid+1，這不就正好是第一個大於t或者第一個亂的了嗎。