海明糾錯碼
當計算機存儲或移動數據時，可能會產生數據位錯誤，這時可以利用漢明碼來檢測並糾錯，簡單的說，漢明碼是一個錯誤校驗碼碼集，由Bell實驗室的R.W.Hamming發明，因此定名為漢明碼。
海明碼（Hamming Code）是一個可以有多個校驗位，具有檢測並糾正一位錯誤的糾錯碼，所以它也僅用於通信特性較好的環境中，如以太局域網中，因為如果通道特性不好的情況下，出現的錯通常也不是一位。
海明碼的檢錯、糾錯基本思想是將有效信息按某種規律分成若干組，每組安排一個校驗位進行奇偶性測試，然后產生多位檢測信息，並從中得出具體的出錯位置，最后通過對錯誤位取反來將其糾正。
要采用海明碼糾錯，需要按以下幾個步驟。
1計算校驗位數
2 確定校驗碼位置
3 確定校驗碼
4 實現校驗和糾錯
1. 計算校驗位數
它是這樣的規定的：假設用N表示添加了校驗碼位后整個信息的二進制位數，用K代表其中有效信息位數，r表示添加的校驗碼位，它們之間的關系應滿足：N=K＋r≤2r－1。
如K=5，則要求2r-r≥5+1=6，根據計算可以得知r的最小值為4，也就是要校驗5位信息碼，則要插入4位校驗碼。如果信息碼是8位，則要求2r-r≥8+1=9，根據計算可以得知r的最小值也為4。根據經驗總結，得出信息碼和校驗碼位數之間的關系如表5-1所示。
2．確定校驗碼位置
上一步我們確定了對應信息中要插入的校驗碼位數，但這還不夠，因為這些校驗碼不是直接附加在信息碼的前面、后面或中間的，而是分開插入到不同的位置。但不用擔心，校驗碼的位置很容易確定的，那就是校驗碼必須是在2n次方位置，如第1、2、4、8、16、32，……位（對應20、21、22、23、24、25，……，是從最左邊的位數起的），這樣一來就知道了信息碼的分布位置，也就是非2n次方位置，如第3、5、6、7、9、10、11、12、13，……位（是從最左邊的位數起的）。
舉一個例子，假設現有一個8位信息碼，即b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7、b8，由表5-1得知，它需要插入4位校驗碼，即p1、p2、p3、p4，也就是整個經過編碼后的數據碼（稱之為“碼字”）共有12位。根據以上介紹的校驗碼位置分布規則可以得出，這12位編碼后的數據就是p1、p2、b1、p3、b2、b3、b4、p4、b5、b6、b7、b8。
現假設原來的8位信息碼為10011101，因現在還沒有求出各位校驗碼值，現在這些校驗碼位都用“？”表示，最終的碼字為：？？1？001？1101。
3. 確定校驗碼
經過前面的兩步，我們已經確定了所需的校驗碼位數和這些校驗碼的插入位置，但這還不夠，還得確定各個校驗碼值。這些校驗碼的值不是隨意的，每個校驗位的值代表了代碼字中部分數據位的奇偶性（最終要根據是采用奇校驗，還是偶校驗來確定），其所在位置決定了要校驗的比特位序列。總的原則是：第i位校驗碼從當前位開始，每次連續校驗i（這里是數值i，不是第i位，下同）位后再跳過i位，然后再連續校驗i位，再跳過i位，以此類推。最后根據所采用的是奇校驗，還是偶校驗即可得出第i位校驗碼的值。
1）計算方法
校驗碼的具體計算方法如下：
p1（第1個校驗位，也是整個碼字的第1位）的校驗規則是：從當前位數起，校驗1位，然后跳過1位，再校驗1位，再跳過1位，……。這樣就可得出p1校驗碼位可以校驗的碼字位包括：第1位（也就是p1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。然后根據所采用的是奇校驗，還是偶校驗，最終可以確定該校驗位的值。
p2（第2個校驗位，也是整個碼字的第2位）的校驗規則是：從當前位數起，連續校驗2位，然后跳過2位，再連續校驗2位，再跳過2位，……。這樣就可得出p2校驗碼位可以校驗的碼字位包括：第2位（也就是p2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。同樣根據所采用的是奇校驗，還是偶校驗，最終可以確定該校驗位的值。
p3（第3個校驗位，也是整個碼字的第4位）的校驗規則是：從當前位數起，連續校驗4位，然后跳過4位，再連續校驗4位，再跳過4位，……。這樣就可得出p4校驗碼位可以校驗的碼字位包括：第4位（也就是p4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。同樣根據所采用的是奇校驗，還是偶校驗，最終可以確定該校驗位的值。
p4（第4個校驗位，也是整個碼字的第8位）的校驗規則是：從當前位數起，連續校驗8位，然后跳過8位，再連續校驗8位，再跳過8位，……。這樣就可得出p4校驗碼位可以校驗的碼字位包括：第8位（也就是p4本身）、第9位、第10位、第11位、第12位、第13位、第14位、第15位，第24位、第25位、第26位、第27位、第28位、第29位、第30位、第31位，……。同樣根據所采用的是奇校驗，還是偶校驗，最終可以確定該校驗位的值。
……
我們把以上這些校驗碼所校驗的位分成對應的組，它們在接收端的校驗結果（通過對各校驗位進行邏輯“異或運算”得出）對應表示為G1、G2、G3、G4，……，正常情況下均為0。
2）校驗碼計算示例
同樣舉上面的例子來說明，碼字為？？1？001？1101。
先求第1個“？”（也就是p1，第1位）的值，因為整個碼字長度為12（包括信息碼長和校驗碼長），所以可以得出本示例中p1校驗碼校驗的位數是1、3、5、7、9、11共6位。這6位中除了第1位（也就是p1位）不能確定外，其余5位的值都是已知的，分別為：1、0、1、1、0。現假設采用的是偶校驗（也就是要求整個被校驗的位中的“1”的個數為偶數），從已知的5位碼值可知，已有3個“1”，所以此時p1位校驗碼的值必須為“1”，得出p1=1。
再求第2個“？”（也就是p2，第2位）的值，根據以上規則可以很快得出本示例中p2校驗碼校驗的位數是2、3、6、7、10、11，也是一共6位。這6位中除了第2位（也就是p2位）不能確定外，其余5位的值都是已知的，分別為：1、0、1、1、0。現假設采用的是偶校驗，從已知的5位碼值可知，也已有3個“1”，所以此時p2位校驗碼的值必須為“1”，得出p2=1。
再求第3個“？”（也就是p3，第4位）的值，根據以上規則可以很快得出本示例中p3校驗碼校驗的位數是4、5、6、7、12，一共5位。這5位中除了第4位（也就是p3位）不能確定外，其余4位的值都是已知的，分別為：0、0、1、1。現假設采用的是偶校驗，從已知的4位碼值可知，也已有2個“1”，所以此時p2位校驗碼的值必須為“0”，得出p3=0。
最后求第4個“？”（也就是p4，第8位）的值，根據以上規則可以很快得出本示例中p4校驗碼校驗的位數是8、9、10、11、12（本來是可以連續校驗8位的，但本示例的碼字后面的長度沒有這么多位，所以只校驗到第12位止），也是一共5位。這5位中除了第8位（也就是p4位）不能確定外，其余4位的值都是已知的，分別為：1、1、0、1。現假設采用的是偶校驗，從已知的4位碼值可知，已有3個“1”，所以此時p2位校驗碼的值必須為“1”，得出p4=1。
最后就可以得出整個碼字的各個二進制值碼字為：111000111101（帶斜體和下划線的4位就是校驗碼）。
轉自：https://blog.csdn.net/a747lulu747/article/details/10961989