海明碼的編碼和校驗方法

 

　　海明碼（也叫漢明碼）具有一位糾錯能力。本文以1010110這個二進制數為例解釋海明碼的編碼和校驗方法。

　　編碼

　　確定校驗碼的位數x

　　設數據有n位，校驗碼有x位。則校驗碼一共有2^x種取值方式。其中需要一種取值方式表示數據正確，剩下2^x-1種取值方式表示有一位數據出錯。因為編碼后的二進制串有n+x位，因此x應該滿足

2^x-1 ≥　n+x　　　

　　使不等式成立的x的最小值就是校驗碼的位數。在本例中，n=7，解得x=4。

　　確定校驗碼的位置

　　校驗碼在二進制串中的位置為2的整數冪。剩下的位置為數據。如圖所示。

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
內容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

 

　　求出校驗位的值

　　以求x2的值為例。為了直觀，將表格中的位置用二進制表示。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
內容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

　　為了求出x2,要使所有位置的第二位是1的數據（即形如**1*的位置的數據）的異或值為0。即x2^1^1^0^1^0 = 0。因此x2 = 1。

　　同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
內容	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

 

　　因此1010110的海明碼為01110100110。

　　校驗

　　假設位置為1011的數據由0變成了1，校驗過程為：

　　將所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的數據分別異或。

　　***1: 0^1^0^0^1^1 = 1

　　**1*: 1^1^1^0^1^1 = 1

　　*1**: 1^0^1^0 = 0 

　　1***: 0^1^1^1 = 1

　　以上四組中，如果一組異或值為1，說明該組中有數據出錯了。***1 **1* 1***的異或都為1，說明出錯數據的位置為1011。