三維空間由3個軸組成，所以一個空間點的位置可以由3個坐標指定。但考慮剛體時，它不僅有位置，還有自身的姿態。借助數學語言，我們可以更好地來描述它。
3.1.1 點和向量，坐標系
點和向量
向量：線性空間中的一個元素，可以把它想象成從原點指向某處的一個箭頭。
注意：不要混淆向量和坐標兩個概念，只有在指定這個三維空間中的某個坐標系時，才可以談論該向量在此坐標下的坐標。
如果確定了一個坐標系，也就是一個線性空間的基（e1,e2,e3），那么就可以談論向量a在這組基下的坐標。
坐標的具體取值，一是和向量本身有關，二是和坐標系的選取有關。
對於a和b∈R3，內積可以寫成：
內積可以描述向量間的投影關系。
外積：
外積的方向垂直於這兩個向量，大小為
，是兩個向量張成的四邊形的有向面積。
外積只對三維向量存在定義，我們還能用外積表示向量的旋轉。
坐標間的歐氏變換
與向量間的旋轉類似，同樣可以描述兩個坐標間的旋轉關系，再加上平移，統稱為坐標系間的變換關系。
舉例：
在機器人的運動過程中，常見的做法是設定一個慣性坐標（或者叫世界坐標系），可認為它是固定不動的，如下圖定義的坐標系。同時，相機或機器人則是一個移動坐標系。
相機視野中某個向量p,它的坐標為Pc，在世界坐標系下看，它的坐標是Pw。這兩者轉換：先得到該點針對機器人坐標系的坐標值，再根據機器人位姿轉換到世界坐標系中，這個轉換關系由一個矩陣T來描述。
相機運動是一個剛體運動，它保證了同一個向量在各個坐標系下的長度和夾角都不會發生變化。這種變換稱為歐氏變換。
歐氏變換由一個旋轉和一個平移兩部分組成。
首先，考慮旋轉。
設某個單位正交基（e1,e2,e3）經過一次旋轉變成了
。那么，對於同一個向量a（注意:該向量並沒有隨着坐標系的旋轉而發生運動），它在兩個坐標系下的坐標為
。根據坐標的定義，有：
，
為了描述兩個坐標之間的關系，等式兩邊同時左乘
，得：
R由兩組基之間得內積組成，刻畫旋轉前后同一個向量得坐標變換關系。矩陣R描述了旋轉本身，因此稱為旋轉矩陣。
旋轉矩陣有一些特別的性質：事實上，它是一個行列式為1的正交矩陣。反之，行列式為1的正交矩陣也是一個旋轉矩陣。因此，旋轉矩陣的集合定義如下：
SO(n)是特殊正交群(Special Orthogonal Group)，這個集合由n維空間的旋轉矩陣組成，特別的，SO(3)是三維空間的旋轉。通過這個旋轉可以直接討論兩個坐標系之間的旋轉變換，而
不用再從基談起。換句話說，旋轉矩陣可以描述相機的旋轉。
由於旋轉矩陣是正交矩陣，它的逆（即轉置）描述了一個相反的旋轉，
在歐氏變換中，除了旋轉之外還有平移。考慮世界坐標系中的向量a，經過一次旋轉（用R描述）和一次平移t后，得到了a'，把旋轉和平移合到一起，有：
t稱為平移向量。通過上式，用一個旋轉矩陣R和一個平移向量t完整地描述了一個歐氏空間的坐標變換關系。
3.1.3 變換矩陣與齊次坐標
假設進行兩次變換：R1，t1和R2，t2，滿足
，
從a 變換到c：
這樣的形式在變換多次后會過於復雜，因此，我們引入齊次坐標和變換矩陣：
這是一個數學技巧：在一個三維向量的末尾添加1，將其變成了四維向量，稱為齊次坐標。
對於這個四維向量，我們可以把旋轉和平移寫在一個矩陣里面，使得整個關系變成線性關系。該式中，T稱為變換矩陣（Transform Matrix）。
關於變換矩陣T，它有比較特別的結構：左上角為旋轉矩陣，右側為平移向量，左下角為0向量，右下角為1。這種矩陣又稱為特殊歐氏群（Special Euclidean Group）.
齊次坐標，是射影幾何的概念。通過添加最后一維，我們用4個實數描述了一個三維向量，這顯然多了一個自由度，但允許我們把變換寫成線性的形式。
在齊次坐標中，某個點x的每個分量同乘一個非零常數k后，仍然表示同一個點。因此，一個點的具體坐標值不是唯一的。
但最后一項不為零時，我們總可以除以最后一項，強制最后一項為1，從而得到一個點唯一的坐標表示（也就是轉換為非齊次坐標）：
