c++算法：計算行列式的值（詳細講解）

參考了：https://blog.csdn.net/u011885865/article/details/42032229

需要的基礎：學過《線性代數》，知道行列式值的求法

基本公式：對於如下的行列式：

其值為：

相信大家都懂這個公式的具體含義，我就不解釋了，不懂的同學百度一下行列式

分析一個這個公式該如何實現：

假定現有有一個3*3的行列式，則其計算公式為：

觀察這個式子，可以發現其有一個核心，那就是生成一個全排列。本例中是一個3*3矩陣，因此需要生成123的全排列，共有六個：123、132、213、231、321、312。

然后就是要計算，生成的排列的逆序數，即

總結起來可分為如下幾步：

1、求出給定n階矩陣的全排列，我用vector<int>存儲一個全排列（即上例中6個全排列中的某一個），用vector<vector<int> >存儲所有的全排列（即上例中的六個全排列）。

2、計算排列的逆序數。

3、分別以1，2...n為row值，從vector<int>中依次提取的值為col值，組成行列式中元素的下標，然后相乘

4、求和。

算法實現：

1、求全排的算法如下，不懂該算法的可以移步：https://www.cnblogs.com/XiaoXiaoShuai-/p/10383535.html

//交換元素
void swap(vector<int>& vec, int i, int j)
{
	int temp = vec[i];
	vec[i] = vec[j];
	vec[j] = temp;
}

//第一個參數表示初始的數列，在上例中，該vec中的元素為1，2，3
//第二個參數表示最終得到的全排列集合
void Perm(vector<int>& vec, vector<vector<int> >& vec_seq, int current_index = 0)
{
	if (current_index == ((int)vec.size() - 1))
	{
		vec_seq.push_back(vec);
	}
	else
	{
		for (int i = current_index; i < (int)vec.size(); i++)
		{
			swap(vec, i, current_index);
			Perm(vec, vec_seq, current_index + 1);
			swap(vec, i, current_index);
		}
	}
}

　當然，還得有一個生成初始數列的函數

//根據n生成一個初始vector
vector<int> inivec(int n)
{
	vector<int> vec;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		vec.push_back(i);
	return vec;
}

　第二步：求出全排列的逆序數，判斷逆序數的奇偶

//得出排列的逆排序數，並根據奇偶判讀正負
bool Iseven(int num)
{
	//用位與運算來判斷奇偶（最快的判斷奇偶的方法）
	return ((num & 1) == 0);
}
//是否冪為正
bool PowerIsPosition(vector<int>& vec)
{
	//count即為逆序數，初始化為0
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < (int)vec.size(); i++)
	{
		for (int j = i + 1; j < (int)vec.size(); j++)
		{
			if (vec[i] > vec[j])
			{
				count += 1;
			}
		}
	}
	return (Iseven(count));
}

　　第三步和第四步：

//計算結果
//第一個參數表示輸入的行列式
//第二個參數表示該行列式的階數，在本例中n = 3，即一個3*3的行列式
int calculate(int** array, int n)
{
	vector<vector<int> > vec_que;
	vector<int> vec = inivec(n);
	vector<int> vec_elem;
	Perm(vec, vec_que);
	//最終結果，初始化為0
	int result = 0;
	//依次為vec_que中取出行列式
	for (int i = 0; i < (int)vec_que.size();i++)
	{
		vec_elem = vec_que[i];
		//mi即為前面(-1)的n次冪，最后結果為-1或者1
		int mi = PowerIsPosition(vec_elem) ? 1 : (-1);
		int temp = mi;
		//row號初始化為0之后依次加1
		int row = 0;
		//col號依次從vec_elem中取出
		for (int j = 0; j < (int)vec_elem.size();j++)
		{
			int col = vec_elem[j];
			temp *= array[row++][col];
		}
		result += temp;
	}
	return result;	
}

　　檢驗一下：

int main()
{
	int** array = new int*[3];
	for (int i = 0; i < 3; i++)
	{
		array[i] = new int[3];
	}
	array[0][0] = 2;
	array[0][1] = -4;
	array[0][2] = 1;
	array[1][0] = 1;
	array[1][1] = -5;
	array[1][2] = 3;
	array[2][0] = 1;
	array[2][1] = -1;
	array[2][2] = 1;
	int result = calculate(array, 3);
	return 0;
}

　　計算的result = -8，結果正確