線性代數真難，而且這個學期就要結課。學到現在（矩陣的分塊），個人感覺最難的還是行列式的計算。哎哎。不過好在這些東西很有套路性，經過一番學習后，我就來總結一下——
行列式的分類
第一類 范德蒙德行列式
\({D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}^0}&{{a_2}^0}& \cdots &{{a_n}^0}\\ {{a_1}^1}&{{a_2}^1}&{}&{{a_n}^1}\\ \vdots &{}&{}& \vdots \\ {{a_1}^{n - 1}}&{{a_2}^{n - 1}}& \cdots &{{a_n}^{n - 1}} \end{array}} \right|\)
這個行列式的特點：某元素若是\(x\)次冪，那么它下方的那個元素（若存在）就是\(x+1\)次冪。
為了消去這個\(x\)與\(x-1\)的差距，不妨試試每一行減去上一行元素乘以\(a_1\)
\({D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1& \cdots &1\\ 0&{{a_2} - {a_1}}&{}&{{a_n} - {a_1}}\\ 0&{{a_2}({a_2} - {a_1})}&{}&{{a_n}({a_n} - {a_1})}\\ \vdots &{}&{}&{}\\ 0&{{a_2}^{n - 2}({a_2} - {a_1})}&{}&{{a_n}^{n - 2}({a_n} - {a_1})} \end{array}} \right|\)
按第一列展開
\({D_{n - 1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} & {{a_2} - {a_1}}& \cdots &{{a_n} - {a_1}}& \\ & {{a_2}({a_2} - {a_1})}&{}&{{a_n}({a_n} - {a_1})}& \\ & \vdots &{}&{}& \\ & {{a_2}^{n - 2}({a_2} - {a_1})}&{}&{{a_n}^{n - 2}({a_n} - {a_1})}& \end{array}} \right|\)
提取公因式
\({D_{n - 1}} = ({a_2} - {a_1}) \cdots ({a_n} - {a_1})\left| {\begin{array}{*{20}{c}} & {1}& \cdots &{1} \\ & {{a_2}}&\cdots&{{a_n}}& \\ & \cdots &\cdots&\cdots{} & \\ & {{a_2}^{n - 2}}&{\cdots}&{{a_n}^{n - 2}}& \end{array}} \right|\)
一直循環這個過程，直到行列式被徹底化干凈，得到
也就是
\({D_n} = \prod\limits_{1 \le j < i \le n}^{} {({a_i} - {a_j})}\)
第二類 雙對角線行列式
\({D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{}&{}&{}\\ {}&{{a_2}}&{{b_2}}&{}&{}\\ {}&{}&{{a_3}}&{{b_3}}&{}\\ {}&{}&{}& \cdots &{\cdots}\\ {{b_n}}&{}&{}&{}&{{a_n}} \end{array}} \right|\)
形如這種，主對角線以及緊挨着主對角線的那一條線（即次對角線）上有非零元素，還有一個非零元素被擠到角落（為什么有一個元素被擠到角落了？因為如果沒有這個被擠到角落的元素話，這個行列式就是個三角行列式，太好算了hhh），其它所有元素都為0。
解法：只需給第一列展開即可。特別注意\(\prod\limits_{i = 1}^n {{b_i}}\)的符號！
\({D_n} = \prod\limits_{i = 1}^n {{a_i} + {{( - 1)}^{n + 1}}\prod\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }\)
第三類 箭頭行列式（爪型行列式）
此類行列式以形狀酷似箭頭而得名。下面是一個箭頭行列式。
\(D_n =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&p&p& \cdots &p\\ q&{x2}&{}&{}&{}\\ q&{}&{x3}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ q&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)
要計算這種行列式，只需設法將箭頭的任意一側消去，得到一個三角行列式后即可快速計算。
現在以消去左箭頭，即第一列為例：
若想消去第一列的第二個元素q，則將第二列整體乘以\(-\frac{q}{x2}\)后加到第一列，得到
\(D_n =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 + p( - \frac{q}{{x2}})}&p&p& \cdots &p\\ 0&{x2}&{}&{}&{}\\ q&{}&{x3}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ q&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)
若想消去第一列的第三個元素q，則將第三列整體乘以\(-\frac{q}{x3}\)后加到第一列，得到
\(D_n =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 + p( - \frac{q}{{x2}})+p( - \frac{q}{{x3}})}&p&p& \cdots &p\\ 0&{x2}&{}&{}&{}\\ 0&{}&{x3}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ q&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)
這個操作重復多次，直到得到上三角行列式
\(D_n =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 - pq\sum\limits_{i = 2}^n {_{}} \frac{1}{{xi}}}&p&p& \cdots &p\\ {}&{x2}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{x3}&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)
解得
\(Dn = (x1 - pq\sum\limits_{i = 2}^n\frac{1}{{xi}})\prod\limits_{i = 2}^n {xi}\).
第四類 兩三角型行列式
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& \cdots &b\\ a&{x2}&b& \cdots &b\\ a&a&{x3}& \cdots &b\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{xn} \end{array}} \right|\)
兩三角形行列式就像所有的0都被填滿了的上三角和下三角行列式。主對角線上下的元素都分別為\(a\)和\(b\)
1.當\(a=b\)時：
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&a&a& \cdots &a\\ a&{x2}&a& \cdots &a\\ a&a&{x3}& \cdots &a\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{xn} \end{array}} \right|\)
如果能把主對角線下（或者上）方的所有a消去，得到一個箭頭行列式，再套用上面的方法，那么問題便可解決。
要想消去\(a\)得到\(0\)，經過觀察發現，第二列及其之后的所有列的第一個元素都是\(a\)，那么讓從第二行開始的每一行都減去第一行即可。得到
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&a&a&a&a\\ {a - x1}&{x2 - a}&{}&{}&{}\\ {a - x1}&{}&{x3 - a}&{}&{}\\ \cdots &{}&{}& \ddots &{}\\ {a - x1}&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)
化成箭頭行列式：
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 + a(x1 - a)\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{1}{{xi - a}}} }&a&a&a&a\\ 0&{x2 - a}&{}&{}&{}\\ 0&{}&{x3 - a}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ 0&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)
解得\(Dn=[x1 + a(x1 - a)\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{1}{{xi - a}}}]\prod\limits_{i = 2}^n {(xi-a)}\)
2.當\(a≠b\)時
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& \cdots &b\\ a&{x2}&b& \cdots &b\\ a&a&{x3}& \cdots &b\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{xn} \end{array}} \right|\)
采用拆行法，將最后一列拆掉
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& \cdots &b+0\\ a&{x2}&b& \cdots &b+0\\ a&a&{x3}& \cdots &b+0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{a + xn - b} \end{array}} \right|\)
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& \cdots &b\\ a&{x2}&b& \cdots &b\\ a&a&{x3}& \cdots &b\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &a \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& \cdots &0\\ a&{x2}&b& \cdots &0\\ a&a&{x3}& \cdots &0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{xn - b} \end{array}} \right|\)
等式右側第一個行列式，我們把它的每一列都減去最后一列從而讓最后一行只剩下最后一個元素以便於按行展開，第二個行列式我們直接按最后一列展開。
\(D_n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 - b}&0&0& \cdots &b\\ {a - b}&{x2 - b}&0& \cdots &b\\ {a - b}&{a - b}&{x3-b}& \cdots &b\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0&0&0& \cdots &a \end{array}} \right| + ({x_n} - b){D_{n - 1}}\)
\(D_n = a({x_1} - b)({x_2} - b) \cdots ({x_{n - 1}} - b) + ({x_n} - b){D_{n - 1}}\)
即\(D_n = a\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {({x_i} - b)}+ ({x_n} - b){D_{n - 1}}\)
我們得到了很簡潔的遞推公式，可是后面帶了一項\(D_{n-1}\)怎么辦啊？不妨把這個行列式轉置一下，得到：
\(D_n = b\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {({x_i} - a)}+ ({x_n} - a){D_{n - 1}}\)
把這兩個式子聯立，消去\(D_{n-1}\)，即得
\({D_n} = (\frac{1}{{a - b}})[b\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {({x_i} - a)} + a\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {({x_i} - b)} ]\)
第五類 三對角行列式
該行列式只有主對角線以及兩條次對角線上的元素不為0.與雙對角行列式類似，只是沒有那個被擠出去的元素了
\({D_n}= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&c&{}&{}&{}&{}\\ b&a&c&{}&{}&{}\\ {}&b&a&c&{}&{}\\ {}&{}& \cdots & \cdots & \cdots &{}\\ {}&{}&{}&b&a&c\\ {}&{}&{}&{}&b&a \end{array}} \right|\)
試試按第一列展開：肉眼可見\(a\)乘以它的代數余子式等於\(aD_{n-1}\).那么\(b\)的代數余子式呢？
\({A_{21}} = {( - 1)^{2 + 1}}b\left| {\begin{array}{*{20}{c}} c&{}&{}&{}&{}&{}\\ b&a&c&{}&{}&{}\\ {}&b&a&c&{}&{}\\ {}&{}&b&a&c&{}\\ {}&{}&{}& \cdots & \cdots & \cdots \\ {}&{}&{}&{}&b&a \end{array}} \right|\)
按第一行展開:\({A_{21}} = - bc{D_{n - 2}}\)
所以\({D_n} = a{D_{n - 1}} - bc{D_{n - 2}}\)
設\({D_n} - x{D_{n - 1}} = y({D_{n - 1}} - x{D_{n - 2}})\)
則可得到\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = a}\\ {xy = bc} \end{array}} \right.\)
像不像韋達定理啊？我們據此構造一個一元二次方程\({t^2} - at + bc = 0\)
由於備考時間緊迫，下面的東西我實在不能深究，看不懂了，直接把結論貼上來吧：
\({D_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{y^{n + 1}} - {x^{n + 1}}}}{{y - x}}}&{,{a^2} - 4bc > 0}\\ {(n + 1){x^n}}&{{a^2} - 4bc = 0} \end{array}} \right.\)
(\(x\)、\(y\)是一元二次方程的兩個實根)
第六類 Hessenberg型行列式
\({D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4& \cdots &n\\ 1&{ - 1}&{}&{}&{}&{}\\ {}&2&{ - 2}&{}&{}&{}\\ {}&{}&3&{ - 3}&{}&{}\\ {}&{}&{}& \cdots & \cdots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{n - 1}&{ - (n - 1)} \end{array}} \right|\)
上面這個就是Hessenberg型行列式.它的特點是除了第一行的其他行，有且僅有兩個互為相反數的非零元素，且沿着主對角線和次對角線排列.
如果我們能把第二行的第一個元素消掉，那么我們就可以按照第一列展開，得到一個上三角行列式，直接進行計算.先試着用第一列加第二列.
\({D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 2}&2&3&4& \cdots &n\\ 0&{ - 1}&{}&{}&{}&{}\\ {0 + 2}&2&{ - 2}&{}&{}&{}\\ {}&{}&3&{ - 3}&{}&{}\\ {}&{}&{}& \cdots & \cdots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{n - 1}&{ - (n - 1)} \end{array}} \right|\)
我們發現雖然第二行的第一個元素被消掉了，但是第三行第一個元素卻不是0了.所以我們應該把第一列加上后面的所有列.
\({D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 2 + \cdots + n}&2&3&4& \cdots &n\\ 0&{ - 1}&{}&{}&{}&{}\\ 0&2&{ - 2}&{}&{}&{}\\ 0&{}&3&{ - 3}&{}&{}\\ \cdots &{}&{}& \cdots & \cdots &{}\\ 0&{}&{}&{}&{n - 1}&{ - (n - 1)} \end{array}} \right|\)
按第一列展開，直接得到\({D_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}{( - 1)^{n - 1}}(n - 1) = {( - 1)^{n - 1}}\frac{{(n + 1)!}}{2}\).