稱行列式$$\det A=\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}$$為Cauchy行列式,我們來計算他：
由於$$\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}=\frac{1}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}\det(c_{ij})_{n\times n}$$
如果將$a_{1},\cdots,a_{n},b_{1},\cdots,b_{n}$視作變量,那么每個$c_{ij}$都是一個$n-1$次的多元多項式,因此$\det(c_{ij})_{n\times n}$的結果必然是一個$n(n-1)$次的多元多項式$f(a_{1},\cdots,a_{n},b_{1},\cdots,b_{n})$(簡記作$f$).
如果我們將$a_{1}$視作變量,而其余視作常數,那么顯然當$a_{1}=a_{k},k=2,3,\cdots,n$時,必然有$$f=\det(c_{ij})_{n\times n}=0$$
從而$f$有因子$(a_{1}-a_{k}),k=2,3,\cdots,n$;以此類推可知$f$含有因子$$g=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})$$
注意到$${\rm deg }g=2\times\binom{n}{2}={\rm deg}f$$
因此$f$和$g$僅相差一個非零常系數.即$$\det A=\frac{C\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}$$我們來求這個系數$C$,現令$$a_{i}=\frac{1}{2}+ix,b_{j}=\frac{1}{2}-jx$$,那么$$\det A=\det\left(\frac{1}{1+(i-j)x}\right)_{n\times n}$$
注意到上式的結果對於充分大的$x$是連續的,從而我們令$x\to\infty$可知$$\det A=1$$
而此時\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\frac{\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}&=\lim_{x\to\infty}\frac{\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(i-j)x(j-i)x}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(1+(i-j)x)}\\&=\frac{-\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(i-j)^2}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n,i\neq j}(i-j)}=1\\\Rightarrow C&=1\end{align*}
綜上便知$$\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}=\frac{\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}$$