積性函數與卷積

不定期更新的說呢...

積性函數

積性函數的概念：

如果一個函數 \(f(n)\) 在 \(a,b\) 互質的情況下滿足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\)， 則稱其為積性函數

舉例：

\(φ(n)\) —— 歐拉函數 ！

\(σ(n)\) —— 約數和函數

\(μ(n)\) —— 莫比烏斯函數 ！

\(σ_0(n)\) —— 約數個數函數

\(σ_k(n)\) —— 約數次數和函數（其實上一個函數也可歸為此類）

完全積性函數的概念：

如果一個函數 \(f(n)\) 對任意整數 \(a,b\) 滿足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\)， 則稱其為完全積性函數

舉例

\(\epsilon(n)\) 單位元函數 （在 n 等於 1 的時候為 1 , 否則為 0 ）

\(I(n)\) 恆等函數 （就是永遠等於 1 ，在卷積的時候經常會用到）

\(id(n)\) 單位函數 （值為本身）

\(id^{k}(n)\) 冪函數

狄利克雷卷積

卷積的符號為 \(*\) （很像乘號）

運算法則如下：

對於兩個函數 \(f,g\)，他們的卷積\(f*g(n)\)為 \(\sum_{d|n}f(d)\times g(\dfrac{n}{d})\)

其中 d|n 表示 d 能被 n 整除， n m 互質的話就是 \(n⊥ m\)

至於莫比烏斯反演我只曉得大概的概念，用也不會用...稍微講講

這里要用到莫比烏斯函數（下面會講），莫比烏斯反演大概就是講：

若兩個函數 \(f,g\) 滿足 \(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\) （即\(f*I=g\)），

則我們用 g 來求出 f ，方法如下：

\[f(n)=\sum μ(d)\times g(\dfrac{n}{d}) \]

然鵝並不曉得運用（因為刷題少啊！）

好吧其實非常有用的地方就是數論分塊（杜教篩）了

兩個積性函數的卷積

兩個積性函數的卷積必然是積性函數，這是一個定理...下面給出 proof：

若 f 、g 為兩個積性函數， \(n ⊥ m\) （ n、 m 互質）

那么我們要證的就是 \(f* g(n)\ · f* g(m) = f* g(nm)\)

根據定義有：

\[f* g(n)=\sum_{d|n} f(d)g({n\over d}) \]

那么：

\[f* g(n)~·f* g(m)=\sum_{d|n} f(d)g({n\over d}) \sum_{d|m} f(d)g({m\over d}) \]

\[=\sum_{d1|n} \sum_{d2|m}f(d1)g({n\over d1}) f(d2)g({m\over d2}) \]

因為 \(n⊥m\) ，所以 \(d1⊥d2\)：

\[=\sum_{d1|n} \sum_{d2|m}f(d1·d2)g({n\over d1} · {m\over d2}) \]

\[=\sum_{d|nm} f(d)g({n\over d}) =f*g(nm) \]

證畢呢...

然后牢記一點，積性函數基本都是能線性篩出來的 0.0

關於歐拉函數 \(φ\)

歐拉函數就是對於 n ， 它的歐拉函數的值為 1~n 中與其互質的數的個數

它滿足一個性質，就是 \(φ*I=id\)

證明？不是很會

其實證明方法很多，可以構造函數然后利用積性函數的性質加以證明

關於莫比烏斯函數 \(μ\)

這個東西滿足一個性質，就是 \(μ*I=e\)

好了，說直白點就是：莫比烏斯函數是用來容斥的

當然，有的地方也得用到這個性質反過來的公式

關於除數函數 \(σ_1\)

這玩意兒能在線性篩的時候篩出來

首先我們考慮一個數約數和的公式：

\[σ_1(n)=\prod_{p∈prime} (1+p+p^2+p^3+...+p^{N_p}) \]

再寫得簡潔一點：

\[\sigma_1(n)=\prod_{p∈prime} \sum_{i=0}^{N_p}p^i \]

\(N_p\) 表示 n 中質因子的個數

這個公式就決定了該函數可以線性篩出來

推薦博文閱讀：

https://lx-2003.blog.luogu.org/mobius-inversion

https://blog.csdn.net/u013632138/article/details/61623497

http://www.cnblogs.com/Colythme/p/9972264.html