首先，要Orz鏼爺。。http://jcvb.is-programmer.com/posts/41846.html
談談積性函數吧。。
百度百科的定義：
完全積性函數指所有對於任何a,b都有性質$f(ab)=f(a)f(b)$的函數。
在數論中的積性函數：對於正整數n的一個算術函數$f(n)$，若$f(1)=1$，且當a,b
互質時$f(ab)=f(a)f(b)$，在數論上就稱它為積性函數。若對於某積性函數$f(n)$，就算a, b不互質，也有$f(ab)=f(a)f(b)$，則稱它為完全積性的。
以下均是積性函數：（度娘～）
$\phi(n)$－
歐拉函數，
$\mu(n)$－
莫比烏斯函數，關於非平方數的質因子數目
$gcd(n,k)$－最大公因子，當k固定的情況
$d(n)$－n的正因子數目
$σ(n)$－n的所有正因子之和
$1(n)$－不變的函數，定義為$1(n)=1$（完全積性）
$id(n)$－單位函數，定義為$id(n)=n$（完全積性）
$idk(n)$－冪函數，對於任何復數、實數k，定義為$idk(n)=n^{k}$（完全積性）
$\varepsilon(n)$－定義為：若$n=1$，$\varepsilon(n)=1$；若$n>1$，$\varepsilon(n)=0$。別稱為“對於
狄利克雷卷積的乘法單位”（完全積性）
$\lambda(n)$－
劉維爾函數，關於能整除n的質因子的數目
$\gamma(n)$，定義為$\gamma(n)=(-1)^{\omega (n)}$，在此加性函數$\omega (n)$是不同能整除n的質數的數目
另外，所有
狄利克雷特征均是完全積性的。
積性函數有幾個性質：
1.若$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}...p_{n}^{a_{n}}$，那么$f(n)=f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}})f(p_{3}^{a_{3}})...f(p_{n}^{a_{n}})$。
2.若$f$為積性函數且有$f(p^{n})=f^{n}(p)$，那么$f$為完全積性函數。
狄利克雷卷積：
對於兩個算術函數$f$和$g$，定義其狄利克雷卷積為$f*g$，其中$f*g(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$。
狄利克雷卷積滿足很多性質：
交換律：$f*g=g*f$,
結合律：$(f*g)*h=f*(g*h)$,
逐點加法的分配律：$f*(g+h)=f*g+f*h$。
若$f$,$g$是積性函數，那么$f*g$也是積性函數。
狄利克雷卷積可以用$O(nlogn)$的篩法預處理出來。
對於積性函數，還有兩個很重要的性質：
$\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]$，即$1*\mu=\varepsilon$。
$\sum_{d|n}\phi(d)=n$，即$1*\phi=id$。
積性函數可以用$O(n)$的時間線性篩求出，以下是篩素數,$\mu(n),\phi(n)$的代碼：
1 vis[0]=vis[1]=1,mu[1]=1,phi[1]=1; 2 for (RG int i=2;i<=N;++i){ 3 if (!vis[i]) mu[i]=-1,phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i; 4 for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<=N;++j,k=i*prime[j]){ 5 vis[k]=1; 6 if (!(i%prime[j])){ mu[k]=0,phi[k]=phi[i]*prime[j]; break; } 7 else mu[k]=-mu[i],phi[k]=phi[i]*phi[prime[j]]; 8 } 9 }
可以發現，線性篩分為3部分：
1.n本身是素數，這個根據積性函數的定義可得，很容易求。
2.i%prime[j]!=0，這個也是根據積性函數的性質可得，即$f(a)f(b)=f(ab)$。
3.i%prime[j]==0，這個就很麻煩了，可能需要找規律。據ljh2000神犇的說法，可以用2,4,8或3,9,27這些數來找。。
總之就是一句話：打表找規律！！！
先打素數，找素數規律，再找2,4,8和3,9,27，找出規律！然后就可以亂搞線性篩了！！！
然后，線性篩並不一定只能篩積性函數，有些具有特殊性質的函數也可以用線性篩。
以上是預備知識，可以為莫比烏斯反演做一些鋪墊吧。。