微分幾何在機器人領域的應用（二）深入理解三維空間變換

空間幾何變換

空間中的幾何變換分為多類，從最簡單，到逐漸復雜的變換，分別有如下幾種。

1. 等距變換（Isometries）。等距變換下點到點的歐式距離保持不變。剛體變換是典型的等距變換。
2. 相似變換（Similarity）。在等距變換的基礎上加上一個各向同性的縮放。矩陣表示上需要在旋轉矩陣部分乘以一個系數s。
3. 仿射變換（Affine）。是一個非奇異的線性變換加上一個平移向量組成的變換。
4. 投影變換（Projective）。任意非奇異的4×4矩陣所構成的變換。

變換的分類和特征如下圖所示:

三維剛體的空間變換屬於第一種情況。如果問題不變形，那么剛體變換涵蓋物理世界中的所有情況。剛體變換包含三個平移自由度和三個旋轉自由度，總共6個自由度。應用剛體變換，點到點的距離保持不變，同時矢量的點積和叉積保持不變。平移自由度易於理解，故本文重點討論旋轉分量，即旋轉矩陣R。

旋轉矩陣：

 

 

    在理解高維理論時，我們一般采用降維的方式理解，由易到難。首先回到二維空間的變換。二維平面中，剛體變換有三個自由度，x, y 和旋轉角θ。用矩陣的形式表示：

 

其中

 

　　分別為旋轉矩陣和平移向量。可以看到旋轉矩陣只有一個自由度，因其只有一個變量θ。

 

旋轉矩陣R的性質：

 

1. 旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣，故旋轉矩陣是正交矩陣。（如果不理解逆矩陣和轉置矩陣，請首先惡補線性代數）。
2. 一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣，且它的行列式是1。正交矩陣的行列式是±1。讀者可思考行列式為-1的情況對應什么變換。

 

二維旋轉矩陣可用旋轉角唯一表示。正角表示逆時針旋轉。

 

 

 

　　如下圖表示的是當θ=20°的情況。

 

 

 

　　 二位旋轉矩陣的許多性質在三維空間中同樣滿足。

 

讓我們回到三維空間。旋轉可以有三個旋轉組合而成。在右手（笛卡爾）坐標系下分別繞x, y, z軸旋轉。其旋轉矩陣分別對應為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

任意旋轉矩陣可寫作一定角度下的三個矩陣的乘積。

 

注意：矩陣乘法不符合交換律！故順序不同，得到的旋轉矩陣並不相同。

歐拉角

 

航空領域，一般定義飛機前后軸為x軸，沿x軸旋轉的角度一般稱為Roll，中文稱作翻滾角；兩翼方向稱作Pitch，中文稱作俯仰角；垂直地面的方向是航向角（Yaw），如下圖所示。個人覺得中文翻譯很符合願意，更易於理解。可以記住在駕駛飛機時，如何操縱翻滾角，俯仰角，航向角。Roll，Pitch，Yaw，又稱作歐拉角。習慣上，三個歐拉角的方向是z-y-x，使用時需要特別重要，歐拉角順序錯了，旋轉矩陣也會發生變換。

 

 

程序實現：

 

程序使用基於C++的Eigen庫[3]。注意，Eigen庫是一個僅包含頭文件的基礎矩陣庫，沒有靜態或動態庫。使用時僅需要把相關的目錄include就可以了。

 

再次注意：三個歐拉角的順序！

 

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <math.h>

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
typedef Eigen::Vector3f            Geo3d;
typedef Eigen::Matrix3f            GeoMat3;
typedef Eigen::Matrix4f            GeoMat4;
typedef GeoMat3                    RotMat;

GeoMat3 RotationMatrixFromEulers(float rx, float ry, float rz)
{
　　Eigen::AngleAxisf quat = Eigen::AngleAxisf(rz, Geo3d::UnitZ()) * Eigen::AngleAxisf(ry, Geo3d::UnitY()) * Eigen::AngleAxisf(rx, Geo3d::UnitX());
14　　 return quat.matrix();
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    auto rot = RotationMatrixFromEulers(M_PI/12, -M_PI/3, M_PI/2);
    std::cout << “Rotation Matrix: “ << rot << std::endl;

    // to euler angles. (2, 1, 0) means, rz, ry, rx
    Geo3d euler_angles = rot. eulerAngles(2, 1, 0);
    std::cout <<”Euler angles: “ << euler_angles.transpose() << std::endl;
    return 1;
}

 李群和李代數

 

三維旋轉矩陣是最直觀的表示方法，但旋轉矩陣有9個變量，只有3個自由度，故信息是冗余的。旋轉矩陣在工程使用更好的表達方法。根據定義，所有的剛體變換屬於一個群（李群，Lie Group）。剛體變換又稱作特殊歐式變換（special Euclidean transformation），通常寫作SE（3）。李群中的變換滿足如下特性。詳細性質可參見李群和李代數的資料。如果只限於3D視覺或機器人學，只需記住其主要特性：

• 封閉性

 

• 相關性

 

•  單位矩陣
• 可逆

 

剛體變換的組合和逆變換均屬於剛體變換。

 

單純的旋轉變換稱作特殊正角變換（special orthogonal transformation), 通常寫作SO（3）。旋轉矩陣都是正交矩陣。

 

李代數通過指數映射，將旋轉矩陣的9個變量轉換為3個變量，結合三個平移向量，總共6個變量，對應6個自由度。李代數表示法在三維重建（SFM）、VR、SLAM等位姿估計領域應用的較多。李代數有基於Eigen的Sophus庫[4]可使用，方便完成指數映射。

 

羅德里格斯旋轉公式（Rodriguez’s Rotation Formula）

 

旋轉矩陣有一個更有效的表達方法，即由一個單位向量和一個旋轉角生成。每一個旋轉矩陣均可轉化為向量和角（又稱軸-角）的表達方式。根據公式，單位向量用表示，旋轉的角度是θ，那么相應的旋轉矩陣是

 

 

 

此矩陣可用簡化為如下公式，

 

 

 

　　具體點符號定義可參見相關文獻。單純環繞x，y或z軸旋轉而成的旋轉矩陣是羅德里格斯公式的特殊形式。讀者可以把上式中的單位向量替換為（0,0,1）進行驗證。雖然公式復雜，但程序實踐比較方便。利用Eigen庫中的Eigen::AngleAxisf（旋轉向量）可以直接獲得。

 

四元數

    四元素可看作一種特殊的復數，由一個實部和三個虛部構成。四元素的表示方法同旋轉矩陣、歐拉角表示方法是等價的。根據羅德里格斯旋轉公式，任何一個旋轉都可以表達成軸角的表達法。四元素可以更方便的表達出旋轉軸和旋轉角。單位歐拉向量可表示為

 

根據歐拉公式的擴展，四元素可表示為

 

 

 

 

四元素分為實部和虛部，實部只跟旋轉角有關。虛部有單位向量和旋轉角共同計算得來。

四元數的求逆可采用復數的共軛（即虛部取反）方式求得

同時，四元數更易於做線性插值（Slerp）。實際實驗中，使用四元素做旋轉矩陣的計算更加方便。使用Eigen庫時，四元素的使用更為方便。

 

 

總結

 

• 　　剛體的空間變換由平移和旋轉兩部分組成。平移部分易於理解，旋轉部分一般由直觀的3×3矩陣表示。

 

•  　　  旋轉矩陣有很多特性（正交矩陣、單位矩陣），但其由9個元素，但只有3個自由度，故數學上的表示是冗余的。

 

•  　　  在機器人領域，使用最多的除旋轉矩陣外，還有旋轉向量、歐拉角、四元素等。

 

•  　　 本文的幾乎所有變換都容易實現，可直接使用三方庫如Eigen[3]，類似的還要OpenCV等。但如要深入理解，最好自己實戰。

 

•  　　  思考：二維空間剛體變換有3個自由度，三維有6個自由度，四維空間呢？n維空間呢？

 

參考文獻：

 

1. Multiple View Geometry in Computer Vision (2^nd Edition), Richard Hartley and Andrew Zisserman.

 

2. An Invitation to 3-D Vision From Images to Models, Yi Ma, Jana Kosecka, Stefano Soatto and Shankar Sastry.

 

3. Eigen, http://eigen.tuxfamily.org/

 

4. Sophus, https://github.com/strasdat/Sophus