一個剛體在三維空間中的運動如何描述。
一、向量
1、一個線性空間的基(e1,e2,e3),向量 a表示為：
2、向量內積
描述了向量之間的投影關系
3、向量外積
外積的方向垂直與這兩個向量，大小為 |a||b|sin<a,b>。
^稱之為反對稱符號。引入側概念可以將向量外積變成線性運算。
二、旋轉 、變換矩陣
1、
（e1,e2,e3）和 (e1`,e2`,e3`) 是連個坐標系的正交基。
R有3個自由度。R為旋轉矩陣，行列式為1的正交陣(R*R^t=I), R^T (等價與R的逆)描述一個相反的旋轉。
SO(n) 特殊正交群(Special Orthogonal Group)
2、
T為變換矩陣，6個自由度。
SE(3) 特殊歐式群(Special Eucliden Group)
三、旋轉向量和歐拉角
1、旋轉向量
任意旋轉都可以用一個旋轉軸和一個旋轉角來刻畫。
旋轉向量的 方向和旋轉軸一致，長度等於旋轉角。
n 為旋轉軸，theta 為角度，則旋轉向量為：theta n
2、羅德里格斯公式(旋轉向量 ----> 旋轉矩陣)
3、旋轉矩陣--->旋轉向量
(旋轉軸上的向量在旋轉后不變)
轉軸n是矩陣R特征值1對應的特征向量。
4、歐拉角
使用3個分離的轉角，直觀的描述旋轉。
偏航-俯仰-滾轉（ yaw-pitch-roll）： ZYX
歐拉角的缺點： 萬向鎖問題，在俯仰角為 （+- 90）時，第一次旋轉和第三次旋轉將使用同一個軸，丟失一個自由度(奇異性)
四、四元數
緊湊且沒有奇異性的描述。
虛部滿足的關系：
1、四元數的運算
加減：
乘法：
共軛：
另外： 
實部為模長的平方，虛部為0
模長：
逆：
數乘與點乘：
2、旋轉向量--->四元數
一個旋轉 繞單位向量 
，旋轉角為: 
則旋轉的四元數形式為：
3、四元數----> 旋轉向量
任意的旋轉都可以：得到兩個互為相反的四元數
當theta =0 時，得到實四元數： 
3、四元數表示旋轉
一個三維點 
，繞軸角 
的旋轉。
點：
旋轉四元數：
旋轉后： 
五、其他變換(相似、仿射、射影)
