一个刚体在三维空间中的运动如何描述。
一、向量
1、一个线性空间的基(e1,e2,e3),向量 a表示为：
2、向量内积
描述了向量之间的投影关系
3、向量外积
外积的方向垂直与这两个向量，大小为 |a||b|sin<a,b>。
^称之为反对称符号。引入侧概念可以将向量外积变成线性运算。
二、旋转 、变换矩阵
1、
（e1,e2,e3）和 (e1`,e2`,e3`) 是连个坐标系的正交基。
R有3个自由度。R为旋转矩阵，行列式为1的正交阵(R*R^t=I), R^T (等价与R的逆)描述一个相反的旋转。
SO(n) 特殊正交群(Special Orthogonal Group)
2、
T为变换矩阵，6个自由度。
SE(3) 特殊欧式群(Special Eucliden Group)
三、旋转向量和欧拉角
1、旋转向量
任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。
旋转向量的 方向和旋转轴一致，长度等于旋转角。
n 为旋转轴，theta 为角度，则旋转向量为：theta n
2、罗德里格斯公式(旋转向量 ----> 旋转矩阵)
3、旋转矩阵--->旋转向量
(旋转轴上的向量在旋转后不变)
转轴n是矩阵R特征值1对应的特征向量。
4、欧拉角
使用3个分离的转角，直观的描述旋转。
偏航-俯仰-滚转（ yaw-pitch-roll）： ZYX
欧拉角的缺点： 万向锁问题，在俯仰角为 （+- 90）时，第一次旋转和第三次旋转将使用同一个轴，丢失一个自由度(奇异性)
四、四元数
紧凑且没有奇异性的描述。
虚部满足的关系：
1、四元数的运算
加减：
乘法：
共轭：
另外： 
实部为模长的平方，虚部为0
模长：
逆：
数乘与点乘：
2、旋转向量--->四元数
一个旋转 绕单位向量 
，旋转角为: 
则旋转的四元数形式为：
3、四元数----> 旋转向量
任意的旋转都可以：得到两个互为相反的四元数
当theta =0 时，得到实四元数： 
3、四元数表示旋转
一个三维点 
，绕轴角 
的旋转。
点：
旋转四元数：
旋转后： 
五、其他变换(相似、仿射、射影)
