計算
1）一維卷積：
y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)
先把函數x(k)相對於原點反折，然后向右移動距離t，然后兩個函數相乘再積分，就得到了在t處的輸出。對每個t值重復上述過程，就得到了輸出曲線。
2）二維卷積：
h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)
先將g(u,v)繞其原點旋轉180度，然后平移其原點，u軸上像上平移x， v軸上像上平移y。然后兩個函數相乘積分，得到一個點處的輸出。
應用
圖像處理：用一個模板和一幅圖像進行卷積，對於圖像上的一個點，讓模板的原點和該點重合，然后模板上的點和圖像上對應的點相乘，然后各點的積相加，就得到了該點的卷積值。對圖像上的每個點都這樣處理。由於大多數模板都是對稱的，所以模板不旋轉。卷積是一種積分運算，用來求兩個曲線重疊區域面積。可以看作加權求和，可以用來消除噪聲、特征增強。
把一個點的像素值用它周圍的點的像素值的加權平均代替。
卷積是一種線性運算,圖像處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用於圖像濾波。
卷積在數據處理中用來平滑，卷積有平滑效應和展寬效應.
電路學：卷積法的原理是根據線性定常電路的性質(齊次性、疊加性、時不變性、積分性等),借助電路的單位沖激響應h(t),求解系統響應的工具，系統的激勵一般都可以表示為沖擊函數和激勵的函數的卷積，而卷積為高等數學中的積分概念。概念中沖擊函數的幅度是由每個矩形微元的面積決定的。
卷積關系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統或數字信號處理中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速算法，實現有效的計算，節省運算代價。
信號處理：
1）卷積實質上是對信號進行濾波；
2）卷積就是用沖擊函數表示激勵函數，然后根據沖擊響應求解系統的零狀態響應。
卷積是求和（積分）。對於線性時不變的系統，輸入可以分解成很多強度不同的沖激的和的形式（對於時域就是積分），那么輸出也就是這些沖激分別作用到系統產生的響應的和（或者積分）。所以卷積的物理意義就是表達了時域中輸入，系統沖激響應，以及輸出之間的關系。
信號角度：卷積代表了線性系統對輸入信號的響應方式,其輸出就等於系統沖擊函數和信號輸入的卷積,只有符合疊加原理的系統,才有系統沖擊函數的概念,從而卷積成為系統對輸入在數學上運算的必然形式,沖擊函數實際上是該問題的格林函數解。點激勵源作為強加激勵,求解某個線性問題的解,得到的格林函數即是系統沖擊響應.所以在線性系統中,系統沖擊響應與卷積存在着必然的聯系。
數學：來說卷積就是定義兩個函數的一種乘法，或者是一種反映兩個序列或函數之間的運算方法。對離散序列來說就是兩個多項式的乘法。物理意義就是沖激響應的線性疊加，所謂沖激響應可以看作是一個函數，另一個函數按沖激信號正交展開。
物理：卷積可代表某種系統對某個物理量或輸入的調制或污染。
例子：
1. 圖像處理
卷積可以幫助實現平滑算法。
有噪點的原圖，可以把它轉為一個矩陣：
比如我要平滑 點，就在矩陣中，取出 點附近的點組成矩陣 ，和 進行卷積計算后，再填回去
用一個動圖來說明下計算過程：
寫成卷積公式就是：
要求 ，一樣可以套用上面的卷積公式。
這樣相當於實現了 這個矩陣在原來圖像上的划動
在圖像平滑處理時，函數g通常取高斯核函數
高斯核
二維高斯分布：
在圖形上，正態分布是一種鍾形曲線，越接近中心，取值越大，越遠離中心，取值越小。
計算平均值的時候，我們只需要將"中心點"作為原點，其他點按照其在正態曲線上的位置，分配權重，就可以得到一個加權平均值。例如：通常，圖像處理軟件會提供"模糊"（blur）濾鏡，使圖片產生模糊的效果。
計算平均值的時候，我們只需要將"中心點"作為原點，其他點按照其在正態曲線上的位置，分配權重，就可以得到一個加權平均值。例如：通常，圖像處理軟件會提供"模糊"（blur）濾鏡，使圖片產生模糊的效果。
高斯模糊的原理
所謂"模糊"，可以理解成每一個像素都取周邊像素的加權平均值。
以高斯分布取g矩陣的值得到的模糊方法即為高斯模糊
權重矩陣
假定中心點的坐標是（0,0），那么距離它最近的8個點的坐標如下：
更遠的點以此類推。
為了計算權重矩陣，需要設定σ的值。假定σ=1.5，則模糊半徑為1的權重矩陣如下：
這9個點的權重總和等於0.4787147，如果只計算這9個點的加權平均，還必須讓它們的權重之和等於1，因此上面9個值還要分別除以0.4787147，得到最終的權重矩陣。
計算高斯模糊
有了權重矩陣，就可以計算高斯模糊的值了。
假設現有9個像素點，灰度值（0-255）如下：
每個點乘以自己的權重值（高斯核函數關於中心對稱，所以直接對應相乘與旋轉180°相乘效果一樣）：
得到
將這9個值加起來，就是中心點的高斯模糊的值。
對所有點重復這個過程，就得到了高斯模糊后的圖像。如果原圖是彩色圖片，可以對RGB三個通道分別做高斯模糊。
參考：http://www.cnblogs.com/herenzhiming/articles/5276106.html