逆元的意義：
通俗的講，逆元可以看做一個數的倒數的整數形式，但是一個數的逆元在不同的 $ (mod) $ 意義下是不一樣的。
$ a\times x\equiv1 \mod n \quad $ ☞ $ \quad a\times \frac{1}{a}\equiv1 \mod n $
這個方程便是逆元的真正定義， $ x $ 的解即代表 $ a $ 在 $ \mod n $ 意義下的逆元，通俗的講：此時的 $ x $ 就相當於 $ a $ 的倒數，這樣 $ a\times x $ 便會等於1，在 $ \mod n $ 意義下余數必定為一。當然這個式子要建立在 $ a $ 與 $ n $ 互質的基礎上！
可是逆元有什么用呢？直接用倒數不行嗎？這是因為我們發現一個分數 $ mod $ 一個整數時是不能直接模運算的，但是可以進行乘法運算，我們就要用到逆元（一個數倒數的整數形式）
就像： $ \frac{a}{b}\mod (n) $ $ \not = $ $ \frac{a\mod n}{b\mod n}\mod (n) $ 但是： $ \frac{a}{b}\mod (n) $ $ = $ $ a\times b^{-1}\mod (n) $
所以當除運算碰上我們的模運算時，我們就需要 $ \mod 模數 $ 意義下的逆元了！
單個逆元的求法：
1. 費馬小定理：
對於整數 $ a $ 與質數 $ p $ ，若 $ a $ 與 $ p $ 互質，則有： $ a^{p-1}\equiv1 \mod p $
我們將上述定理稍稍變一下： $ a\times a^{p-2}\equiv1 \mod p $ （這不就是我們的逆元定義式嗎？）
所以 $ a^{p-2} $ 就是 $ a $ 在 $ \mod p $ 意義下的逆元啊！這個我們用快速冪求一下不就行了嗎！
inline ll fast(ll x){//求x在%mod意義下的逆元
int y=mod-2;ll res=1;
while(y){
if(y&1)res=res*x%mod;
x=x*x%mod; y>>=1;
}return res;
}
2. 拓展歐幾里得：
用快速冪求逆元，是敵不過某些毒瘤出題人，比如模數就是個long long，這樣快速冪就會溢出。這個時候怎么辦？嗯，我們的萬能 $ gcd $ 就要登場了！（請不要理會博主的中二病，然后防爆longlong還可以用快速乘的）
- 存在整數 $ x_1 $ 和 $ y_1 $ ，使得： $ x_1\times a+y_1\times b=gcd(a,b) $
- 同理，存在整數 $ x_2 $ 和 $ y_2 $ ，使得： $ x_2\times b+y_2\times (a\mod b) =gcd(b,a\mod b) $
根據我們萬能 $ gcd $ 的性質，上述兩個等式的右半部分相同，同理它們的左半部分也相同！
於是我們得到：
- $ x_1\times a+y_1\times b=x_2\times b+y_2\times (a\mod b) $
- $ x_1\times a+y_1\times b=x_2\times b+y_2\times (a-\frac{a}{b}\times b) $
- $ x_1\times a+y_1\times b=y_2\times a+(x_2-y_2\times \frac{a}{b})\times b $
- $ x_1=y_2 \quad $ $ \quad y_1=x_2-y_2\times \frac{a}{b} $
所以我們根據 $ x_2 $ 和 $ y_2 $ 就能求出 $ x_1 $ 和 $ y_1 $ 辣！而眾所周知的，我們 $ gcd $ 大法的終極形態就是當 $ b0 $ 的時候，這時我們的 $ x=1 $ ，而因為 $ b0 $ ，所以我們的 $ y $ 隨便取一個就行（好像都用0的），然后我們在回溯的時候，不斷往前推我們的 $ x $ 和 $ y $ ，直到得出我們最初的哪一組解。（這其實就是一個構造的過程）
可是這和求逆元又有什么聯系呢？我們發現只有當我們的 $ a $ 與 $ b $ 互質的時候即 $ gcd(a,b)=1 $ 時，這個二元一次方程不就變成了： $ x_1\times a+y_1\times b=1 $ （等同於 $ x_1\times a=1(\mod b) $ 或 $ y_1\times b=1(\mod a) $ ）而這，不就相當於我們逆元的定義式嗎？我們再用上述方法將 $ x_1 $ 和 $ y_1 $ 求出來，不就是逆元了嗎？
inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0)return x=1,y=0,a;
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x; return d;
}
遞推求多個逆元：
上面我們說的是單個求逆元的方法，復雜度為 $ O(logn) $ 級別（一般快速冪要快一些），可是有一些題目往往需要我們求多個逆元（如連續的數，階乘，和次方的逆元），而且單個求的時間往往要在 $ O(1) $ 的復雜度，我們有沒有辦法 $ O(n) $ 求出所有這些逆元呢？答案是可以的，但只能是一些特殊的數。
線性求逆元：
同余是神奇的，我們可以通過它推出一個逆元的遞推式：
$ \Rightarrow inv[i]=(m-m/i)\times inv[m \mod i] \mod m $
推導過程：設 $ a=m/i $ ，設 $ b=m \mod i $ ，則有 $ m=a\times i+b $
$ \Rightarrow a\times i+b\equiv 0\mod(m) $
$ \Rightarrow -a\times i\equiv b\mod(m) $
我們將同余號兩邊都除以一個 $ i\times b $ ，把逆元這個概念引進來，得到：
$ \Rightarrow -a\times inv[b]\equiv inv[i]\mod(m) $
這樣，我們就將 $ i $ 和 $ m \mod i $ 聯系到了一起，我們將 $ a $ 和 $ b $ 換回原裝可得：
$ \Rightarrow -m/i\times inv[m \mod i]\equiv inv[i]\mod(m) $
$ \Rightarrow inv[i]\equiv (m-m/i)\times inv[m \mod i] \mod(m) $
$ \Rightarrow inv[i]=(m-m/i)\times inv[m \mod i] \mod m $
這樣，只要我們預處理一下 $ inv[1]=1 $ ，往后的所有逆元我們都能線性求了！
int main(){
n=qr(),m=qr(); inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(ll)(m-m/i)*inv[m%i]%m;
return 0;
}
線性求階乘逆元： （這個比上面的要簡單一些。）
我們都知道，階乘代表： $ n!=1\times 2\times 3...\times n $ ，那么我們可以得出： $ (n-1)!=n!/n $
這不也是一個逆元式嗎？只不過我們要倒着遞推而已。
我們先用快速冪或拓展歐幾里得求出 $ n! $ 的逆元，然后所有比它小的逆元都可以線性推過去了！
int main(){
n=qr(),m=qr(); jc_inv[n]=1;
for(int i=n;i>=2;--i)
jc_inv[i-1]=(ll)jc_inv[i]*i%m;
return 0;
}