如何尋找無序數組中的第K大元素？

有這樣一個算法題：有一個無序數組，要求找出數組中的第K大元素。比如給定的無序數組如下所示：

如果k=6，也就是要尋找第6大的元素，很顯然，數組中第一大元素是24，第二大元素是20，第三大元素是17...... 第六大元素是9。

方法一：排序法

這是最容易想到的方法，先把無序數組從大到小進行排序，排序后的第k個元素自然就是數組中的第k大元素。但是這種方法的時間復雜度是O(nlogn),性能有些差。

方法二：插入法

維護一個長度為k的數組A的有序數組，用於存儲已知的K個較大的元素。然后遍歷無序數組，每遍歷到一個元素，和數組A中的最小元素進行比較，如果小於等於數組A中的最小元素，繼續遍歷;如果大於數組A中的最小元素，則插入到數組A中，並把曾經的最小元素"擠出去"。

比如K=3，先把最左側的7,5,15三個數有序放入到數組A中，代表當前最大的三個數。

此時，遍歷到3時，由於3<5,繼續遍歷。

接下來遍歷到17，由於17>5,插入到數組A的合適位置，類似於插入排序，並把原先最小的元素5“擠出去”。

繼續遍歷原數組，一直遍歷到數組的最后一個元素......

最終，數組A中存儲的元素是24,20,17，代表着整個數組的最大的3個元素。此時數組A中的最小元素17就是我們要尋找的第K大元素。

這個方法的時間復雜度是O(nk)，但是如果K的值比較大的話，其性能可能還不如方法一。

小頂堆法

二叉堆是一種特殊的完全二叉樹，它包含大頂堆和小頂堆兩種形式。其中小頂堆的特點是每一個父節點都小於等於自己的兩個子節點。要解決這個算法題，我們可以利用小頂堆的特性。

維護一個容量為K的小頂堆，堆中的K個節點代表着當前最大的K個元素，而堆頂顯然是這K個元素中的最小值。
遍歷原數組，每遍歷一個元素，就和堆頂比較，如果當前元素小於等於堆頂，則繼續遍歷;如果元素大於堆頂，則把當前元素放在堆頂位置，並調整二叉堆（下沉操作）。
遍歷結束后，堆頂就是數組的最大K個元素中的最小值，也就是第K大元素。

假設K=5，具體操作步驟如下：

1.把數組的前K個元素構建成堆

2.繼續遍歷數組，和堆頂比較，如果小於等於堆頂，則繼續遍歷;如果大於堆頂，則取代堆頂元素並調整堆。

遍歷到元素2，由於2<3，所以繼續遍歷。

遍歷到元素20，由於20>3,20取代堆頂位置，並調整堆。

遍歷到元素24，由於24>5,24取代堆頂位置，並調整堆。

以此類推，我們一個一個遍歷元素，當遍歷到最后一個元素8時，小頂堆的情況如下：

3.此時的堆頂，就是堆中的最小元素，也就是數組中的第K大元素。

這個方法的時間復雜度是多少呢？

1.構建堆的時間復雜度是O(K)
2.遍歷剩余數組的時間復雜度O(n-K)
3.每次調整堆的時間復雜度是O(logk)
其中2和3是嵌套關系，1和2,3是並列關系，所以總的最壞時間復雜度是O((n-k)logk + k)。當k遠小於n的情況下，也可以近似地認為是O(nlogk)。

這個方法的空間復雜度是多少呢？
剛才我們在詳細步驟中把二叉堆單獨拿出來演示，是為了便於理解。但如果允許改變原數組的話，我們可以把數組的前K個元素“原地交換”來構建成二叉堆，這樣就免去了開辟額外的存儲空間。因此空間復雜度是O(1)。

代碼如下：

/**
     * 尋找第k大元素
     * @param array 待調整的數組
     * @param k 第幾大
     * @return
     */
    public static int findNumberK(int[] array, int k) {
        //1.用前k個元素構建小頂堆
        buildHeap(array, k);
        //2.繼續遍歷數組，和堆頂比較
        for (int i = k; i < array.length; i++) {
            if(array[i] > array[0]) {
                array[0] = array[i];
                downAdjust(array, 0, k);
            }
        }
        //3.返回堆頂元素
        return array[0];
    }

    private static void buildHeap(int[] array, int length) {
        //從最后一個非葉子節點開始，依次下沉調整
        for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; i--) {
            downAdjust(array, i, length);
        }
    }

    /**
     * 下沉調整
     * @param array 待調整的堆
     * @param index 要下沉的節點
     * @param length 堆的有效大小
     */
    private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {
        //temp保存父節點的值，用於最后的賦值
        int temp = array[index];
        int childIndex = 2 * index + 1;
        while (childIndex < length) {
            //如果有右孩子，且右孩子小於左孩子的值，則定位到右孩子
            if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) {
                childIndex++;
            }
            //如果父節點小於任何一個孩子的值，直接跳出
            if (temp <= array[childIndex])
                break;
            //無需真正交換，單項賦值即可
            array[index] = array[childIndex];
            index = childIndex;
            childIndex = 2 * childIndex + 1;
        }
        array[index] = temp;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = new int[] {7, 5, 15, 3, 17, 2, 20, 24, 1, 9, 12, 8};
        System.out.println(findNumberK(array, 5));
    }

方法四：分治法

大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把數組分成較大和較小元素兩部分。我們在尋找第K大元素的時候，也可以利用這個思路，以某個元素A為基准，把大於A的元素都交換到數組左邊，小於A的元素交換到數組右邊。

比如我們選擇以元素7作為基准，把數組分成了左側較大，右側較小的兩個區域，交換結果如下：

包括元素7在內的較大元素有8個，但我們的K=5，顯然較大元素的數目過多了。於是我們在較大元素的區域繼續分治，這次以元素12為基准：

這樣一來，包括元素12在內的較大元素有5個，正好和K相等。所以，基准元素12就是我們所求的。

這就是分治法的思想，這種方法的時間復雜度甚至優於小頂堆法，可以達到O(n)。