MPC調節器

1.給定一個由狀態空間法描述的離散系統：

MPC控制器與其他線性二次調節器(LQR)的區別就在於其可以很好的將系統動態約束納入考慮。

采樣周期Ts控制了算法的效率，太大會錯過很多系統運行時的細節（擾動），太小又使得計算量變大。合適的取值應該取上升時刻Tr的5%-10%，或取調節時間的百分之十，在過渡時間內采樣5-16次。

2.MPC的基本運行機理：

1）預測系統未來動態求解

2）優化問題

3）解的第一個元素作用於系統

4）滾動時域、重復進行

3.預測

按照運行機理的第一步，在給定系統動態方程下進行預測系統接下來的狀態。對於2.1所描述的系統，將其寫成增量形式：

增量形式系統動態方程

MPC可以天然地處理增量式問題，這有助於消除靜態誤差。MPC在每個采樣時刻都在線的求解有限時域（p）一次開環最優問題。因此，在每個時刻我們都把最新的測量值作為初始條件，代入2.4即可預測未來系統動態。在預測的過程中，我們並不考慮系統真實的輸出和狀態，因為在控制信號輸入前一切並未真正發生。同樣，可測干擾在k 時刻之后也認為是不變的（在預測的過程中），即Δd(k + i) = 0。這樣地去求解開環問題大大簡便了計算。為了進一步提高計算速度，我們還在預測域p之外定義一個控制域m。一般m是小於等於p，當t>m時，控制量保持不變：Δu(k + i) = 0。M控制了優化問題獨立變量個數，因此在犧牲一定自由度的基礎上提高了計算快速性。

P的取值不能太小，否則系統可能由於參考輸出r突然變化而無法做出反應。同樣，p太大對擾動的反應會很慢。P的選取至少要大於系統開環響應的調節時間Ts，即此時偏差小於2%或5%。

M雖然越小越容易計算，但太小也會導致輸出y一直達不到參考輸入r。即使m=p，我們也只將第一個u作為真實輸入，后續的u對實際輸出曲線y的影響較小。故m一般取p或Ts的10%-20%，至少2-3個時間步。

當我們測量得到x（k）時，預測過程就開始了:

進一步，由輸出方程（2 . 4b）可以預測k+l 至k+p 的被控輸出:

定義p 步預測輸出向量和m 步輸入向量如下：

矩陣下標表示的是矩陣中向量（或標量）的個數，不一定是矩陣的維數．例如，上式中， p × 1 僅表示馬（ k + Ilk ）矩陣中Ye 的個數，當Ye 是向量時， px l

並不等於矩陣的維數．

那么，對系統未來p 步預測的輸出可以由下面的預測方程計算：

上式中Su 的下三角形式直接反映了系統在時間上的因果關系，即k+l 時刻的輸

入對k 時刻的輸出沒有影響， k + 2 時刻的輸入對k 和k+l 時刻的輸出沒有影響，

等等。

4.無約束預測控制

給定參考輸入r，定義目標函數：

我們所要求解的問題：

將（2.20）寫成矩陣向量形式，則

定義輔助變量：

由此我們已經得到了控制序列U(k)。由於我們采用的預測模型是線性的，目標函數是二次型的，且沒有考慮時域

硬約束，因此，可以得到優化問題的解析解，無須采用數佳方法求解。

U(k)中的元素是時間的函數，它以測量值y(k)為初始條件，並將第一個元素真實作用於系統:

由函數關系可知，U是當前測量值y(k)的函數：

但這里的控制序列是開環求解的，為了處理外部干擾和模型失配，只將第一個元素作為真實輸入。假如將全部元素作為控制輸入，y(k+1)之后的測量值將無法使用，使控制系統處於"離線"狀態。因此最好的做法是，只用第一個控制輸入，隨后系統在控制信號作用下進入下一個時刻，得到新的測量值作為初始條件再次求解MPC問題，故也體現出MPC的反饋控制特性:

每個時刻的初始條件不同，MPC的目標函數也是處於動態變化過程中。雖然並不保證能求得全局最優解，但隨着反復在線優化，整體控制效果要比傳統的最優控制要好。

（2.35）中Ep(k + l l k）由（2.28 ）在線計算．顯然3 如果加權陣I'y 和幾是與時間無關的常數，則Kmpc 可以由（2 . 34 ）離線計算．在k+l 時刻，得到新的測量值x(k + 1),將由預測方程（ 2. 13 ）重新計算系統未來的輸出，井且由（2.33）計算最優控制序列t:.U*(k + 1 ）.最后，由預測控制基本原理中的"滾動時域、重復進行"的機制，給出無約束預測控制的算法如下: