要：通過運用數學軟件，按照中學課程中導數求解的思路，簡便實現阿基米德螺線切線的計算，並對驗證結果進行分析得出結論，為拓展中學數學教學方法提供參考。
關鍵詞：阿基米德螺線 導數 數學教學 Mathematica 交互
Calculate and Demonstrate of Tangent Line for Archimedean Sprial
Abstract：To simplify the calculate and demonstrate of tangent line for Archimedean spiral in middle school teaching, it will be achieved by using the mathmatic software. Following the step of derivative method, the conclusion could be got and observed easily. The method discussed in the article could be widly adopted for math teaching in middle school.
Key words：Archimedes’ Sprial
引言
高中數學中的導數部分一直是教學中的難點，提高教學內容的直觀性和趣味性、開發適合中學生操作的實驗課題，對於增加課堂吸引力和提高學生理解力將大有幫助。通過引入成熟的數學軟件，將公式推導的過程進行簡化，可以有效幫助學生理解導數的概念和應用，從而為大學的學習奠定良好的數學基礎，同時為課堂教學提供更新穎的方式和方法。下面以阿基米德螺線的切線求解為例來分析導數概念在曲線求解中的應用。
1 阿基米德螺線的描述與公式
阿基米德螺線是古希臘數學家阿基米德提出的一種螺旋曲線，它的描述形式為：一個點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉動而產生的軌跡。阿基米德螺線簡化后的極坐標方程式為：r = a *θ
其中r表示的是動點距圓心的距離，a表示的是每旋轉周期內，動點移動過的距離，θ表示射線旋轉過的角度。
想要得到指定θ角度的切線方程，分析多個周期間切線的位置關系，這樣的問題就屬於典型的極坐標曲線求切線的問題，通過導數的計算方法可以簡單的加以實現。
2 極坐標曲線切線計算的步驟和方法
極坐標曲線的切線計算可以按照下面的步驟來進行：
1.將極坐標公式轉換為直角坐標系公式。
2.分別對x(θ)、y(θ)函數進行求導，得到x'(θ) 、y' (θ)，二者相除可以得到切線的斜率公式。
3.按照指定的角度θ0代入直角坐標公式和斜率公式組成切線方程。
函數求導和切線方程的建立是整個計算中的難點，隨着曲線函數復雜度的提高，手工推導的難度將大大增加，不利於對整體概念的理解和掌握。曲線與切線的關系展示也是傳統教學中的難點，很難動態的去改變參數並展示結果。通過引入數學軟件，以上問題都可以很好的得到解決。
3 Mathematica軟件的基本用法
Mathematica是一款非常專業的科學計算軟件，具有非常強大的數值和符號計算功能，它與MATLAB和Maple 並稱為三大數學軟件。Mathematica軟件簡便易用，它的書寫形式更接近於自然語言，適合進行復雜的數學公式推導與驗證。
在Mathematica中對公式求導是通過D[ ]函數來實現[1]，以阿基米德螺線切線斜率的計算為例，通過以下的代碼即可實現斜率公式的推導：
運行以上代碼可以得到斜率及切線的公式：
直線的顯示可以用Plot[ ]函數，例如繪制直線y=5x+3，x在[-10,10]區間內的線段：
曲線的顯示使用ParametricPlot[ ]函數來實現，比如繪制從0度至6Pi的阿基米德累線：
從上圖中可以看到，Mathematica中的坐標系和日常教學中的坐標系是完全一致的，角度是按逆時針方向增長，函數中的角度值均按弧度值來取值。上圖中還可以看到公式中a的取值在坐標軸上的體現，由於在x軸正方向上，每旋轉一周，動點移動2*Pi*a的距離，若將a取值為50/Pi，則曲線與正向x坐標軸的交點是100的整數倍。
在切線公式代碼的基礎上，添加以下代碼進行數據測試：
Mathematica軟件會將運行過的計算公式保存在內存中，對變量直接賦值，直接引用公式項，如上圖中的k項和t項，則可以輸出計算結果。將繪圖函數的結果保存到一個變量中，比如上圖中的f1，函數末尾用分號結束，表示當前運算結果暫不輸出，最后統一用Show[ ]函數將圖形結果疊加在一起一並輸出。通過以上代碼，最終實現交替輸出斜率與切線公式，之后合並輸出曲線與切線的圖形：
為了避免前次運算的結果對后續運算造成干擾，在代碼開前用Clear[ ]函數對所有變量進行清零是一個較好的編程習慣。
4 計算結果的分析
通過設定不同的θ角度值，執行代碼，可以看到不同的運算結果。
θ角度值為零時，切線與x軸重合，這符合動點運動方向的初始設定，即動點從原點開始向x軸正方向勻速移動，同時按照逆時針方向（角度增大的方向）旋轉，最后形成阿基米德螺線的軌跡。
在以上的實驗中，θ角按照Pi為間隔進行測試，斜率k的值“恰好”等於θ角度值。若以Pi/2為間隔，可以得到更具普遍性的結論：k值的變化不是均勻的，與θ值沒有直接的對等關系，k值的正負值變化能很好的說明這一點。
在阿基米德《論螺線》的命題18，19中提到，當旋轉完一個完整周期時（θ=2Pi），繪制的切線與y軸的交點距原點的距離等於以動點到圓心距離為半徑的圓弧的周長。並且以后每個完整周期都符合這個規律。
按照實驗中的參數來看，第一圈的半徑等於100，圓周長為200Pi，與y軸的交點為（0，-200Pi），距離原點距離符合命題中的結論。x軸方向距離成倍增加時，y軸負方向距離也成倍增加，因此證明命題18，19是准確的。
若θ角度值不是2Pi的整數倍，則可以很容易的發現命題18，19中的規律是不適用的。比如當θ角度為3Pi時，實驗中的切線公式為y= 3Pi(150+x)，很顯然（x軸距離的2Pi倍）150*2Pi不等於（y軸距離）3Pi*150。因此，《論螺線》的命題18，19僅適用於θ角度值為2Pi整數倍的情況。
通過間隔為2Pi的切線斜率可以看到，每增加一個周期，斜率也會同步增加，因此，各條切線之間是不平行的，因此在大多數情況下x軸與y軸交點間的距離沒有固定的比例關系。
5 結束語
通過使用數學軟件，合理設計實驗題目，可以簡便快捷的將計算原理與圖形效果緊密結合起來，幫助學生克服公式推導中的困難，從而更深入的從原理和結果之間的關系入手，進行分析和掌握課堂知識點。對於教學人員而言，應積極主動的了解和掌握新的軟件應用方法，達到豐富教學手段，增強教學效果的目的。
參考文獻：
[1] 章美月,劉海媛,金花. Mathematica數學軟件與數學實驗[M].徐州:中國礦業大學出版社，2013.
///輔導過的一篇論文，刊發時把圖片都丟了，所以在這里補發一下。