問題描述
酒吧里，一個美女問一個紳士要不要與她玩一個游戲，游戲描述如下：兩個各持一枚硬幣，並各自選擇硬幣的正反面展示，如果硬幣均為正面，紳士獲得2美元，如果均為反面，紳士獲得1美元，其他情況紳士付給美女2美元。紳士的盈虧狀況可以用下表來描述：
| 正 | 反 | |
| 正 | +3 | -2 |
| 反 | -2 | +1 |
如果兩人都是隨機（1/2的概率）出正反面，根據概率來看他們的期望都是0，也就是不賺不虧，游戲是公平的。但是，如果某個人一直按這個概率出被另一個人發現則會輸得很慘，因此這里就存在一個博弈的問題，期望會發生變化。
數學求解
設紳士以 \(x\) 的概率出正面，則出反面的概率為 \(1-x\)；
設美女以 \(y\) 的概率出正面，則出反面的概率為 \(1-y\)。
則紳士收入的數學期望為：
\( E=3xy+1\times (1-x)(1-y) - 2\times [(1-x)y + (1-y)x]=8xy-3x-3y+1\)
令\( E < 0\)，即:
\(E=8xy-3x-3y+1<0\)
整理可得：
\(E=(8x-3)y-3x+1<0\)
討論：
若\( x = \frac{3}{8}\)，則無論\(y\)為何值都有\(E<0\)；
若\(x > \frac{3}{8}\)，則可得\(y < \frac{3x-1}{8x-3}\)，\( \frac{3x-1}{8x-3}\) 是一個減函數，在\(x=1\)（\(x\)是概率有最大值1）時取最小值 \(\frac{2}{5}\)；
若\(x < \frac{3}{8}\)，則可得\(y > \frac{3x-1}{8x-3}\)，\( \frac{3x-1}{8x-3}\) 是一個減函數，在\(x=0\)（\(x\)是概率有最小值0）時取最大值 \(\frac{1}{3}\)。
綜上，無論紳士以何種概率出硬幣，美女可以以\(\frac{1}{3}< y < \frac{2}{5}\)的概率出正面獲得恆正的收益。