題面：
題目背景:
HKE帶着 $ n $ 個小朋友做游戲
題目描述:
現在有n個座位編號為 $ 1 $ 至 $ n $ ，這些小朋友也編號 $ 1 $ 至 $ n $ 。一開始所有小朋友都坐在相應的座位上。HKE的游戲可用一個n的排列 $ A(A_1,A_2\cdots A_n $ )表示。一輪游戲時，對於所有的 $ 1\leq i\leq n $ ，坐在位置 $ i $ 上的小朋友坐到位置 $ A_i $ 上。
現在游戲進行了 $ k $ 輪，HKE想知道游戲結束后，位置 $ 1,2\cdots n $ 分別坐了幾號小朋友？
輸入格式：
第一行 $ n,k $ 。
第二行 $ A_1,A_2\cdots A_n $
輸出格式：
一行n個數表示 k 輪游戲后坐在位置 $ 1,2……n $ 上的小朋友的編號
輸入樣例#1：
5 5
2 3 1 5 4
輸出樣例#1：
2 3 1 5 4
輸入樣例#2：
5 4
2 3 1 5 4
輸出樣例#2：
3 1 2 4 5
數據范圍：
30%的數據， $ n\leq1000 $ ， $ k\leq1000 $
100%的數據， $ n\leq100000 $ ， $ k\leq2^{31}-1 $
本題 $ solution $ :
首先請允許我奶一波：本題出的是真的好！
某蒟蒻心路歷程：
小文：這不是矩陣快速冪裸題嗎？！！
題面：矩陣快速冪復雜度 $ n^3 $ OK?
小文：那就降到二維 $ n^2 $ 優化麻！！！
題面：.... $ n\leq100000 $ ，are you sure？
小文：我 &% $ &#%&#% ！！！！！！！
於是乎讓我再仔細看看題目吧：
解 1 ：跑圖論求環
我們（在腦海里）建一個圖，將第 i 步的結果與第 i+1 步的結果用一條邊連起來，跑一遍你會發現這是一個環（即你不斷轉換下去會回到你的初始狀態。所以你將 k mod 一下環的大小（ $ \leq n $ ）然后跑一遍圖即可。（稍稍維護一下復雜度）
這對蒟蒻來說太難了，於是就沒有代碼實現了
解 2 ：快速冪
這題其實不存在矩陣成分（有啟發效果），重點在與快速冪和你的轉移過程。
原理：
1.轉移的結合律：
下文中但凡以 2 3 1 5 4（一個栗子）為標准轉移，2 3 1 5 4 分別表示 $ A_1 $ $ A_2 $ $ A_3 $ $ .... $ $ A_5 $ ：
轉移的實現：
inline void ans(){ //給ans數組轉換
for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=a[i];
for(rg i=1;i<=n;++i) a[b[i]]=c[i];
}
對於一個以 2 3 1 5 4 為標准的轉移，我們若轉移兩次，就相當於進行一次以 3 1 2 4 5 為標准的轉移（不信試試）；而我們若轉移 3 次，就相當於先進行一次以 3 1 2 4 5 為標准的轉移在進行一次以 2 3 1 5 4 為標准的轉移。這說明小朋友換位置具有結合律，這是我們快速冪的基礎。
而 3 1 2 4 5 是可以通過 2 3 1 5 4 推出來的（類似矩陣乘法）：
$ \begin{vmatrix}2 &3&1&4&5\\2&3&1&4&5\|&|&|&|&|\\3&1&2&4&5\end{vmatrix} $ $
看的出怎么推嗎：先講一下 3 是如何來的：
首先 3 的意義表示 1 號小朋友在轉移兩次后在 3 號位置。所以我們看到 1 號小朋友第一輪轉換時要轉換到 2 號位置，而第二輪轉換時 2 號位置的人要轉換到 3 號位置，所以就相當於一號小朋友在轉移兩次后要在 3 號位置。 1 2 4 5 也是這樣得來的：實現：
inline void base(){ //給bese數組轉換
for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=b[i];
for(rg i=1;i<=n;++i) b[i]=c[c[i]];
}
而此時如果我們需要以2 3 1 4 5為標准轉移 4 次，就可以直接以 3 1 2 4 5為標准轉移兩次即可。同樣我們還可以用 3 1 2 4 5來推出一個序列，以次序列為標准轉移就能直接得到以2 3 1 4 5轉移 4 次的結果。
然后直接快速冪求解即可！
代碼實現：
以某一轉換序列來推出下一個轉換序列，我們用base函數實現。
以某一序列為標准轉移，我們用ans函數實現。（這兩個不一樣！！
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#define rg register int
using namespace std;
int n,k;
int b[100001];// base
int a[100001];// answer
int c[100001];// 借來轉換賦值
inline int qr(){ char ch; // 快讀
while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
int res=ch^48;
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
res=res*10+(ch^48);
return res;
}
inline void ans(){ //給ans數組轉換
for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=a[i];
for(rg i=1;i<=n;++i) a[b[i]]=c[i];//重點1
}
inline void base(){ //給bese數組轉換
for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=b[i];
for(rg i=1;i<=n;++i) b[i]=c[c[i]];//重點2
}
int main(){
n=qr();k=qr();
for(rg i=1;i<=n;++i)
b[i]=qr(),a[i]=i;//賦初值
while(k){
if(k&1)ans();
base();k>>=1;
}// 快速冪
for(rg i=1;i<=n;++i)
printf("%d ",a[i]);//輸出ans
return 0;
}
本題重在理解，碼量其實不高（除去快讀等....
$ O_{(n\log{n})} $ 的復雜度加上碼量還是很優秀的。
注：題目來源：華南師范大學附屬中學，洛谷Noip熱身賽