Wolsey“強整數規划模型”經典案例之一單源固定費用網絡流問題

閱讀本文可以理解什么是“強”整數規划模型。

單源固定費用網絡流問題見文獻[1]第13.4.1節（p229-231)，是"強整數規划建模“的極好案例。

本文是本博客原創，本博客不轉貼他人作品。

單源固定費用網絡流問題（The Signle Source Fixed Charge Network Flow Problem)

單源固定費用網絡流問題：給定一個有向網絡 (邊數為m,節點數n)，網絡上只有一個流量流入節點（標記為1），但有若干個流量流出節點, 節點 i 的流出流量標記為 B[i], 每個邊 e (e =1,...,m) 有流量限制（此例中不考慮流量限制，因此流量限制取為-B[1]) 。網絡情況如下圖：

網絡的節點數n=4, 邊數m=8。

對應節點1，2，3，4， 流（出）量B={ -6  2  3  4}。

對應邊e=1,2,3,4,5,6,7,8, 邊由節點對定義，數據是 E={(1 4) (1 2) (4 2) (1 3) (2 3) (3 2) (4 3) (3 4)}. 

對應邊e=1,2,3,4,5,6,7,8， 邊上的一次性費用是C={5 2 7 3 2 4 9 12}.

非“強”整數規划模型

設非負變量 x[e] 是邊e (e =1,...,8) 上的流量， 又設0-1變量 y[e] 表示邊e上是否有流量。於是模型的目標是極小化一次性費用和，約束無外乎節點上的流量平衡約束和x[e]-y[e]之間的關聯約束。

用+Leapms寫出模型，其PDF摘錄如下：

上述模型用+Leapms中的solve命令求松弛解，可以看到y變量非0-1: 

+Leapms>solve
The LP is solved to optimal.
找到線性規划最優解.非零變量值和最優目標值如下：
    .........
    x1*=1
    x2*=2
    x4*=3
    y1*=0.166667
    y2*=0.333333
    y4*=0.5
    .........
    Objective*=3
    .........
+Leapms>

若要獲得整解則必須使用mip命令對問題進行分支定界/割平面求解：

+Leapms>mip
relexed_solution=3; number_of_nodes_branched=0; memindex=(1,1)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規划的最優解.非零變量值和最優目標值如下：
  .........
    x1* =1
    x2* =5
    x5* =3
    y1* =1
    y2* =1
    y5* =1
  .........
    Objective*=9
  .........
+Leapms>

結果在網絡上表現：

“強”整數規划模型（Strong Integer Formulation)

“強”整數規划模型對上述模型采用了Multicommodity改寫。方法是引入一個新非負變量 z[e][k]， 其含義是流過e邊最終貢獻給k節點流出的流量（顯然此處k=2,...,n, k$\neq 1$)。

新模型的目標不會改變，約束中的節點平衡條件邏輯上也不改變，即對任何節點 i , 流出和流入之差應該為0 或者 當i==k時等於k的流出量。

用+Leapms寫出模型，其PDF摘錄如下：

上述所謂“強”模型比之前的模型的好處在於在+Leapms中直接使用solve命令就可以求出整數解，即不需要分支定界/割平面過程！

不十分嚴格地：此即是“強”整數規划模型和含義，強模型更容易求解，或者說對求解器更友好。

＋Leapms的求解過程：

+Leapms>solve
The LP is solved to optimal.
找到線性規划最優解.非零變量值和最優目標值如下：
    .........
    x1*=1
    x2*=5
    x5*=3
    y1*=1
    y2*=1
    y5*=1
    z1_4*=1
    z2_2*=2
    z2_3*=3
    z5_3*=3
    .........
    Objective*=9
    .........
+Leapms>

結果在網絡上表現：

強整數規划模型的詳細解釋 及 “強”建模原理

本案例的“強”建模原理來源於文[1]中的三個觀察（Oberservation 13.2-13.4, page 230) 。

關於“強”模型的詳細解釋，見文[2]。

其他

文[1]並未在13.4.1中給出此案例的所有數據，其余數據（主要是邊上費用數據C是從13.1, page 222）的XPRESS MP模型中讀出的。貼在這里，供看官與+Leapms建模語言作對比：

結論

“強”整數規划建模概念是經典建模方法中的重要內容，如果說在本科《運籌學》教學中只要講述0-1變量的應用即可，那么在研究生層次的《高級運籌學》教學中最好增加“強”整數規划建模內容。

使用本土完全自主知識產權的+Leapms建模語言和+Leapms求解器，可以有效輔助教學，比之傳統的舶來建模語言和求解器有優勢。

參考文獻

[1] Wolsey L A. Integer Programming. New York: Jonh Wiley & Sons, 1998 / ISBN 978-0-471-28366-9

[2] Wolsey L . Strong formulations for mixed integer programming: A survey[J]. Mathematical Programming, 1989, 45(1-3):173-191.