任務車間調度問題的混合整數規划模型
文獻[1]的7.3節講了一個任務車間調度問題。
一個車間生產套印紙張，分別套印藍綠黃三種顏色。三種紙張根據需求分別在藍、綠、黃三個機器上印刷，印刷時間如下表：
| 印制顏色 | 紙1 | 紙2 | 紙3 | |
| 機器1 | 藍 | 45 | 20 | 12 |
| 機器2 | 綠 | 10 | 17 | |
| 機器3 | 黃 | 10 | 34 | 28 |
紙張需要滿足下圖所示的印制次序：
要求安排工藝調度（即安排紙張在各個機床上的加工時間）以使得總完成時間最短。
模型及求解
從上圖可以讀出紙張的印制次序為：
Paper 1: 1 --> 3
Paper 2: 2 --> 1 -->3
Paper 3: 3--> 1 --> 2
Paper 1 不需要在機器2上加工。為一致起見，設其在機器2上的加工時間為0，加工次序為3。得到下面的加工次序矩陣。
S={
1 3 2
2 1 3
3 1 2
}
設 T[i][j] 為紙張 j 在機器 i 上的加工時長。設 t[i][j] 為紙張 j 在機器 i 上的開始加工時刻。
模型的目標是極小化總完工時間tt:
min tt //(1)
顯然tt必須大於等於三種紙張的各自完成時間：
tt >= t[S[j][3]][j]+T[S[j][3]][j] | j=1,...,3 //(2)
對任意紙張j和k， 如果 j<>k， 則他們在同一台機器上的加工時間不可沖突：
t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] 或 t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k
上面是兩個或約束，不可以直接寫入混合線性規划的。解決辦法是引入二值變量u[i][j][k]和大M，把上面的邏輯轉換成兩個聯立約束：
t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] - M*u[i][j][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(3)
t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] -M(1-u[i][j][k]) | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(4)
紙張需要滿足加工次序約束：
t[S[j][k+1]][j] >= t[S[j][k]][j] + T[S[j][k]][j] |j=1,...,3; k=1,...,2 //(5)
完整的+Leapms模型：
min tt //(1)
subject to
//tt大於等於三種紙張的各自完成時間：
tt >= t[S[j][3]][j]+T[S[j][3]][j] | j=1,...,3 //(2)
//對任意紙張j和k，如果j<>k，則他們在同一台機器上的加工時間不能沖突：
t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] - M*u[i][j][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(3)
t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] -M(1-u[i][j][k]) | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(4)
//加工次序約束：
t[S[j][k+1]][j] >= t[S[j][k]][j] + T[S[j][k]][j] |j=1,...,3; k=1,...,2 //(5)
where
M is a number
T[i][j] is a number | i=1,...,3;j=1,...,3
S[i][j] is an integer | i=1,...,3;j=1,...,3
tt is a variable of nonnegative number
t[i][j] is a variable of nonnegative number | i=1,...,3;j=1,...,3
u[i][j][k] is a variable of binary|i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k
data
T={
45 20 12
0 10 17
10 34 28
}
S={
1 3 2
2 1 3
3 1 2
}
M=1000
求解過程
+Leapms>load
Current directory is "ROOT".
.........
jobshop.leap
.........
please input the filename:jobshop
================================================================
1: min tt //(1)
2:
3: subject to
4:
5: //tt大於等於三種紙張的各自完成時間：
6: tt >= t[S[j][3]][j]+T[S[j][3]][j] | j=1,...,3 //(2)
7:
8: //對任意紙張j和k，如果j<>k，則他們在同一台機器上的加工時間不能沖突：
9: t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] - M*u[i][j][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..
,3;j<>k //(3)
10: t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] -M(1-u[i][j][k]) | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1
,..,3;j<>k //(4)
11:
12: //加工次序約束：
13: t[S[j][k+1]][j] >= t[S[j][k]][j] + T[S[j][k]][j] |j=1,...,3; k=1,...,2
//(5)
14:
15: where
16: M is a number
17: T[i][j] is a number | i=1,...,3;j=1,...,3
18: S[i][j] is an integer | i=1,...,3;j=1,...,3
19: tt is a variable of nonnegative number
20: t[i][j] is a variable of nonnegative number | i=1,...,3;j=1,...,3
21: u[i][j][k] is a variable of binary|i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k
22:
23: data
24:
25: T={
26: 45 20 12
27: 0 10 17
28: 10 34 28
29: }
30:
31: S={
32: 1 3 2
33: 2 1 3
34: 3 1 2
35: }
36: M=1000
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=28
number of constraints=45
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=64; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規划的最優解.非零變量值和最優目標值如下：
.........
t1_1* =42
t1_2* =10
t1_3* =30
t2_1* =97
t2_3* =42
t3_1* =87
t3_2* =30
t3_3* =2
tt* =97
u1_1_2* =1
u1_1_3* =1
u1_3_2* =1
u2_1_2* =1
u2_1_3* =1
u2_3_2* =1
u3_1_2* =1
u3_1_3* =1
u3_2_3* =1
.........
Objective*=97
.........
+Leapms>
求解結果
+Leapms>mip
relexed_solution=64; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規划的最優解.非零變量值和最優目標值如下：
.........
t1_1* =42
t1_2* =10
t1_3* =30
t2_1* =97
t2_3* =42
t3_1* =87
t3_2* =30
t3_3* =2
tt* =97
u1_1_2* =1
u1_1_3* =1
u1_3_2* =1
u2_1_2* =1
u2_1_3* =1
u2_3_2* =1
u3_1_2* =1
u3_1_3* =1
u3_2_3* =1
.........
Objective*=97
.........
+Leapms>
反向生成Latex數學概念模型
+Leapms提供從+Leapms模型向Latex數學概念模型的轉換。
當模型調整和測試完畢，使用+Leapms的latex命令可生成本問題的如下數學概念模型：
參考文獻
[1] Christelle Guéret, Christian Prins, Marc Sevaux. Applications of optimization with Xpress-MP (Translated and revised by Susanne Heipcke). Dash Optimization Ltd. 2000