流水車間調度算法分析的簡單+Leapms實踐--混合整數規划的啟發式建模

清華大學出版社出版的白丹宇教授著作《流水車間與開放車間調度算法漸近分析》采用漸近分析方法分析多個NP-難類啟發調度算法的收斂性，學術性很強。

本帖用數學規划模型方法對比精確模型和啟發模型之間的差異，從實踐角度感覺啟發算法的魅力。本帖的要點如下：

1。有人說數學規划模型是精確方法。其實廣義地講，數學規划模型也可以是啟發算法，只要你對問題進行啟發建模就行。

2。啟發建模會犧牲求解精確性，但是對NP-難問題來說，由於對大規模問題的精確解很難獲得，啟發算法或啟發建模是必須的。

3。當測試算法時，原始數據經常是隨機生成的，最好能把數據的生成簡潔地寫進模型，那么測試就簡單多了。

流水車間調度問題

假設有m個機器，n個工件，已知每個工件在不同機器上的加工時間，求如何排序工件在不同機器上的加工次序使得總完工時間最短（以此目標為例）。

流水車間調度的精確模型

設x[i][j] 為工件j 在機器i上的開始加工時間，設c為總完工時間，於是目標是：

      min c

c肯定大於任何工件在任何機器上的完成時間：

    c>=x[i][j]+T[i][j] | i=1,..,m;j=1,..,n

把工件 j 在機器 i 上的加工時間設置為T[i][j]。

對兩個工件 j1,j2， j1$\neq$ j2，在同一台機器上的加工時間不可以沖突，即：

    x[i][j2]>=x[i][j1]+T[i][j1] - M(1-u[i][j1][j2])|i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2
    x[i][j1]>=x[i][j2]+T[i][j2] - M*u[i][j1][j2] | i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2

對同一個工件j, 其在兩台不同機器 i1，i2， i1 $\neq $ i2上加工的時間不能沖突，即：

    x[i2][j]>=x[i1][j]+T[i1][j] - M(1-v[i1][i2][j])| i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<i2
    x[i1][j]>=x[i2][j]+T[i2][j] - M*v[i1][i2][j] |  i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<i2

說明一下引入的常量和變量：

where
    m,n are integers
    M is a number
    c is a variable of number
    T[i][j] is a number|i=1,..,m;j=1,..,n
    x[i][j] is a variable of nonnegative number|i=1,..,m;j=1,..,n
    u[i][j1][j2] is a variable of binary|i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<>j2
    v[i1][i2][j] is a variable of binary|i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<>i2

提供計算得來的數據，注意T[i][j]是用隨機函數隨機生成的0-100之間的數：

data_relation
    T[i][j]=rand(100)|i=1,...,m;j=1,...,n
    M=sum{i=1,..,m;j=1,..,n}T[i][j]

提供數據，這里設m=3使得問題NP-難，n=100規模足夠大：

data
    m=3
    n=100

總體的模型：

//x[i][j] -- start time of job j on machine i
min c
subject to 
    c>=x[i][j]+T[i][j] | i=1,..,m;j=1,..,n
    x[i][j2]>=x[i][j1]+T[i][j1] - M(1-u[i][j1][j2])|i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2
    x[i][j1]>=x[i][j2]+T[i][j2] - M*u[i][j1][j2] | i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2
    x[i2][j]>=x[i1][j]+T[i1][j] - M(1-v[i1][i2][j])| i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<i2
    x[i1][j]>=x[i2][j]+T[i2][j] - M*v[i1][i2][j] |  i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<i2
where
    m,n are integers
    M is a number
    c is a variable of number
    T[i][j] is a number|i=1,..,m;j=1,..,n
    x[i][j] is a variable of nonnegative number|i=1,..,m;j=1,..,n
    u[i][j1][j2] is a variable of binary|i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<>j2
    v[i1][i2][j] is a variable of binary|i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<>i2
data_relation
    T[i][j]=rand(100)|i=1,...,m;j=1,...,n
    M=sum{i=1,..,m;j=1,..,n}T[i][j]
data
    m=3
    n=100

流水車間調度的啟發模型

使用這個啟發： 讓在機器上加工時間較小的任務早些執行。即同一個機器上工件不沖突約束改變為：

    x[i][j2]>=x[i][j1]+T[i][j1] |i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2;T[i][j1]<T[i][j2]
    x[i][j1]>=x[i][j2]+T[i][j2] | i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2;T[i][j1]>=T[i][j2]

總體模型是：

//x[i][j] -- start time of job j on machine i
min c
subject to 
    c>=x[i][j]+T[i][j] | i=1,..,m;j=1,..,n
    x[i][j2]>=x[i][j1]+T[i][j1] |i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2;T[i][j1]<T[i][j2]
    x[i][j1]>=x[i][j2]+T[i][j2] | i=1,..,m;j1=1,..,n;j2=1,..,n;j1<j2;T[i][j1]>=T[i][j2]
    x[i2][j]>=x[i1][j]+T[i1][j] - M(1-v[i1][i2][j])| i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<i2
    x[i1][j]>=x[i2][j]+T[i2][j] - M*v[i1][i2][j] |  i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<i2
where
    m,n are integers
    M is a number
    c is a variable of number
    T[i][j] is a number|i=1,..,m;j=1,..,n
    x[i][j] is a variable of nonnegative number|i=1,..,m;j=1,..,n
    v[i1][i2][j] is a variable of binary|i1=1,..,m;i2=1,..,m;j=1,..,n;i1<>i2
data_relation
    T[i][j]=rand(100)|i=1,...,m;j=1,...,n
    M=sum{i=1,..,m;j=1,..,n}T[i][j]
data
    m=3
    n=100

對比試算

將兩個模型調入+Leapms環境中進行解析。

精確模型有3061個變量和30600個約束：

啟發模型有901個變量，15750個約束：

兩者不僅是變量和約束數字的差異，關鍵是模型結構上的差異。

在+Leapms中使用cplex命令呼叫 CPLEX求解：

精確模型在筆者能忍受的時間內求不到精確解，兩分鍾之后的最好解是5715， gap 96%，這樣大的gap很難降下來。剛剛幾乎死機，趕緊殺掉進程，保護本帖。

啟發模型呼叫CPLEX后瞬間被求解，最優解4904。

關於漸進性的進一步實驗統計得換m,n值慢慢算，有時間的再全面試下，該吃飯了，先下了。最后貼下兩個模型的PDF摘錄。

兩個模型的PDF摘錄：