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網絡流（一）基礎知識篇
網絡流（二）最大流的增廣路算法
網絡流（三）最大流最小割定理
網絡流（四）dinic算法
網絡流（五）有上下限的最大流
網絡流（六）最小費用最大流問題
最小費用最大流
簡介
最小費用最大流是解決這么一種問題: 對於圖中的每一條邊來說, 除了有一個最大容量的屬性以外，還有一個費用屬性, 即流過這條邊的單位流量的花費。求解的問題為在保證從源點到匯點的流量最大的前提下使得花費最少。
求解思想
我們來考慮這么一個問題: 在最短路的一些變形的題目中往往有這種題，每條路不僅僅有一個長度還有一個建設的費用， 最終求從起點到終點在保證路最短的前提下，使得花費的錢最少。當時我們是怎么求解的呢？
首先我們知道，最短路的長度是一定的，但是組成一條最短路的邊是不一定的，所以我們在搜索這條最短路的時候只要通過調整待選邊的優先級來控制搜索的方向就可以滿足上述問題的要求。
這個問題跟我們現在求解的最小費用最大流問題神似啊，只要我們在尋找增廣路的時候調整待選邊的優先級來控制尋找方向，這個問題就可以解決了啊。我們直到對於一條增廣路來說, 花費滿足: , 實際上這里的優先級就是每條邊的長度認為是其單位流量的花費的最短路。
給出一個容量網絡，那他的最大流一定是一個定值（即使是有多個一樣的最大值）。所以我們從開始的可行流開始增廣時，最終的增廣量是一定的。所以為了滿足最小費用我們只需要每次找最小費用的增廣路即可，直到流量為最大值。這個問題僅僅是在求增廣路時先考慮費用最小的增廣路，其他思想和EK思想一樣。
我們學過SPFA求最短路算法（bellman-ford的隊列優化），所以我們將弧的費用看做是路徑長度，即可轉化為求最短路的問題了。只需要所走的最短路滿足兩個條件即可：1可增廣cap> flow,2路徑變短d[v]>d[u]+cost< u,v> 。
下面的模板取自劉汝佳算法入門經典，模板中SPFA算法（Bellman-Ford）和最大流的增廣路算法同步進行，十分巧妙
1 const int INF = 0x3f3f3f3f; 2 const int maxn = 1000 + 10; 3 struct edge 4 { 5 int u, v, c, f, cost; 6 edge(int u, int v, int c, int f, int cost):u(u), v(v), c(c), f(f), cost(cost){} 7 }; 8 vector<edge>e; 9 vector<int>G[maxn]; 10 int a[maxn];//找增廣路每個點的水流量 11 int p[maxn];//每次找增廣路反向記錄路徑 12 int d[maxn];//SPFA算法的最短路 13 int inq[maxn];//SPFA算法是否在隊列中 14 int n, m; 15 void init(int n) 16 { 17 for(int i = 0; i <= n; i++)G[i].clear(); 18 e.clear(); 19 } 20 void addedge(int u, int v, int c, int cost) 21 { 22 e.push_back(edge(u, v, c, 0, cost)); 23 e.push_back(edge(v, u, 0, 0, -cost)); 24 int m = e.size(); 25 G[u].push_back(m - 2); 26 G[v].push_back(m - 1); 27 } 28 bool bellman(int s, int t, int& flow, long long & cost) 29 { 30 for(int i = 0; i <= n + 1; i++)d[i] = INF;//Bellman算法的初始化 31 memset(inq, 0, sizeof(inq)); 32 d[s] = 0;inq[s] = 1;//源點s的距離設為0，標記入隊 33 p[s] = 0;a[s] = INF;//源點流量為INF（和之前的最大流算法是一樣的） 34 35 queue<int>q;//Bellman算法和增廣路算法同步進行，沿着最短路拓展增廣路，得出的解一定是最小費用最大流 36 q.push(s); 37 while(!q.empty()) 38 { 39 int u = q.front(); 40 q.pop(); 41 inq[u] = 0;//入隊列標記刪除 42 for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) 43 { 44 edge & now = e[G[u][i]]; 45 int v = now.v; 46 if(now.c > now.f && d[v] > d[u] + now.cost) 47 //now.c > now.f表示這條路還未流滿（和最大流一樣） 48 //d[v] > d[u] + e.cost Bellman 算法中邊的松弛 49 { 50 d[v] = d[u] + now.cost;//Bellman 算法邊的松弛 51 p[v] = G[u][i];//反向記錄邊的編號 52 a[v] = min(a[u], now.c - now.f);//到達v點的水量取決於邊剩余的容量和u點的水量 53 if(!inq[v]){q.push(v);inq[v] = 1;}//Bellman 算法入隊 54 } 55 } 56 } 57 if(d[t] == INF)return false;//找不到增廣路 58 flow += a[t];//最大流的值，此函數引用flow這個值，最后可以直接求出flow 59 cost += (long long)d[t] * (long long)a[t];//距離乘上到達匯點的流量就是費用 60 for(int u = t; u != s; u = e[p[u]].u)//逆向存邊 61 { 62 e[p[u]].f += a[t];//正向邊加上流量 63 e[p[u] ^ 1].f -= a[t];//反向邊減去流量 （和增廣路算法一樣） 64 } 65 return true; 66 } 67 int MincostMaxflow(int s, int t, long long & cost) 68 { 69 cost = 0; 70 int flow = 0; 71 while(bellman(s, t, flow, cost));//由於Bellman函數用的是引用，所以只要一直調用就可以求出flow和cost 72 return flow;//返回最大流，cost引用可以直接返回最小費用 73 }