原文地址：https://www.yanbinghu.com/2019/01/07/16863.html
前言
假如面試官讓你編寫求斐波那契數列的代碼時，是不是心中暗喜?不就是遞歸么，早就會了。如果真這么想，那就危險了。
遞歸求斐波那契數列
遞歸，在數學與計算機科學中，是指在函數的定義中使用函數自身的方法。
斐波那契數列的計算表達式很簡單：
F(n) = n; n = 0,1
F(n) = F(n-1) + F(n-2),n >= 2;
因此，我們能很快根據表達式寫出遞歸版的代碼：
/*fibo.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契數列遞歸版*/
unsigned long fibo(unsigned long int n)
{
if(n <= 1)
return n;
else
return fibo(n-1) + fibo(n-2);
}
int main(int argc,char *argv[])
{
if(1 >= argc)
{
printf("usage:./fibo num\n");
return -1;
}
unsigned long n = atoi(argv[1]);
unsigned long fiboNum = fibo(n);
printf("the %lu result is %lu\n",n,fiboNum);
return 0;
}
關鍵代碼為3~9行。簡潔明了，一氣呵成。
編譯：
gcc -o fibo fibo.c
運行計算第5個斐波那契數：
$ time ./fibo 5
the 5 result is 5
real 0m0.001s
user 0m0.001s
sys 0m0.000s
看起來並沒有什么不妥，運行時間也很短。
繼續計算第50個斐波那契數列：
$ time ./fibo 50
the 50 result is 12586269025
real 1m41.655s
user 1m41.524s
sys 0m0.076s
計算第50個斐波那契數的時候，竟然將近兩多鍾！
遞歸分析
為什么計算第50個的時候竟然需要1分多鍾。我們仔細分析我們的遞歸算法，就會發現問題，當我們計算fibo(5)的時候，是下面這樣的：
|--F(1)
|--F(2)|
|--F(3)| |--F(0)
| |
|--F(4)| |--F(1)
| |
| | |--F(1)
| |--F(2)|
| |--F(0)
F(5)|
| |--F(1)
| |--F(2)|
| | |--F(0)
|--F(3)|
|
|--F(1)
為了計算fibo(5)，需要計算fibo(3)，fibo(4)；而為了計算fibo(4)，需要計算fibo(2)，fibo(3)……最終為了得到fibo(5)的結果，fibo(0)被計算了3次，fibo(1)被計算了5次，fibo(2)被計算了2次。可以看到，它的計算次數幾乎是指數級的！
因此，雖然遞歸算法簡潔，但是在這個問題中，它的時間復雜度卻是難以接受的。除此之外，遞歸函數調用的越來越深，它們在不斷入棧卻遲遲不出棧，空間需求越來越大，雖然訪問速度高，但大小是有限的，最終可能導致棧溢出。
在linux中，我們可以通過下面的命令查看棧空間的軟限制：
$ ulimit -s
8192
可以看到，默認棧空間大小只有8M。一般來說，8M的棧空間對於一般程序完全足夠。如果8M的棧空間不夠使用，那么就需要重新審視你的代碼設計了。
遞歸改進版
既然我們知道最初版本的遞歸存在大量的重復計算，那么我們完全可以考慮將已經計算的值保存起來，從而避免重復計算，該版本代碼實現如下：
/*fibo3.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契數列，避免重復計算版本*/
unsigned long fiboProcess(unsigned long *array,unsigned long n)
{
if(n < 2)
return n;
else
{
/*遞歸保存值*/
array[n] = fiboProcess(array,n-1) + array[n-2];
return array[n];
}
}
unsigned long fibo(unsigned long n)
{
if(n <= 1)
return n;
unsigned long ret = 0;
/*申請數組用於保存已經計算過的內容*/
unsigned long *array = (unsigned long*)calloc(n+1,sizeof(unsigned long));
if(NULL == array)
{
return -1;
}
array[1] = 1;
ret = fiboProcess(array,n);
free(array);
array = NULL;
return ret;
}
/**main函數部分與fibo.c相同，這里省略*/
效率如何呢？
$ gcc -o fibo0 fibo3.c
$ time ./fibo0 50
the 50 result is 12586269025
real 0m0.002s
user 0m0.002s
sys 0m0.001s
可見其效率還是不錯的，時間復雜度為O(n)。但是特別注意的是，這種改進版的遞歸，雖然避免了重復計算，但是調用鏈仍然比較長。
迭代解法
既然遞歸法不夠優雅，我們換一種方法。如果不用計算機計算，讓你去算第n個斐波那契數，你會怎么做呢？我想最簡單直接的方法應該是：知道第一個和第二個后，計算第三個；知道第二個和第三個后，計算第四個，以此類推。最終可以得到我們需要的結果。這種思路，沒有冗余的計算。基於這個思路，我們的C語言實現如下：
/*fibo1.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契數列迭代版*/
unsigned long fibo(unsigned long n)
{
unsigned long preVal = 1;
unsigned long prePreVal = 0;
if(n <= 2)
return n;
unsigned long loop = 1;
unsigned long returnVal = 0;
while(loop < n)
{
returnVal = preVal +prePreVal;
/*更新記錄結果*/
prePreVal = preVal;
preVal = returnVal;
loop++;
}
return returnVal;
}
/**main函數部分與fibo.c相同，這里省略*/
編譯並計算第50個斐波那契數：
$ gcc -o fibo1 fibo1.c
$ time ./fibo1 50
the 50 result is 12586269025
real 0m0.002s
user 0m0.001s
sys 0m0.002s
可以看到，計算第50個斐波那契數只需要0.002s！時間復雜度為O(n)。
尾遞歸解法
同樣的思路，但是采用尾遞歸的方法來計算。要計算第n個斐波那契數，我們可以先計算第一個，第二個，如果未達到n，則繼續遞歸計算，尾遞歸C語言實現如下：
/*fibo2.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契數列尾遞歸版*/
unsigned long fiboProcess(unsigned long n,unsigned long prePreVal,unsigned long preVal,unsigned long begin)
{
/*如果已經計算到我們需要計算的，則返回*/
if(n == begin)
return preVal+prePreVal;
else
{
begin++;
return fiboProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin);
}
}
unsigned long fibo(unsigned long n)
{
if(n <= 1)
return n;
else
return fiboProcess(n,0,1,2);
}
/**main函數部分與fibo.c相同，這里省略*/
效率如何呢？
$ gcc -o fibo2 fibo2.c
$ time ./fibo2 50
the 50 result is 12586269025
real 0m0.002s
user 0m0.001s
sys 0m0.002s
可見，其效率並不遜於迭代法。尾遞歸在函數返回之前的最后一個操作仍然是遞歸調用。尾遞歸的好處是，進入下一個函數之前，已經獲得了當前函數的結果，因此不需要保留當前函數的環境，內存占用自然也是比最開始提到的遞歸要小。時間復雜度為O(n)。
矩陣快速冪解法
這是一種高效的解法，需要推導，對此不感興趣的可直接看最終推導結果。下面的式子成立是顯而易見的，不多做解釋。
如果a為矩陣，等式同樣成立，后面我們會用到它。
假設有矩陣2*2矩陣A，滿足下面的等式：
可以得到矩陣A：
因此也就可以得到下面的矩陣等式：
再進行變換如下：
以此類推，得到：
實際上f(n)就是矩陣
中的A[0][0],或者是矩陣
中的A[0][1]。
那么現在的問題就歸結為，如何求解，其中A為2*2的矩陣。根據我們最開始的公式，很容易就有思路，代碼實現如下：
/*fibo3.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAX_COL 2
#define MAX_ROW 2
typedef unsigned long MatrixType;
/*計算2*2矩陣乘法，這里沒有寫成通用形式，有興趣的可以自己實現通用矩陣乘法*/
int matrixDot(MatrixType A[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType B[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType C[MAX_ROW][MAX_COL])
{
/*C為返回結果，由於A可能和C相同，因此使用臨時矩陣存儲*/
MatrixType tempMa[MAX_ROW][MAX_COL] ;
memset(tempMa,0,sizeof(tempMa));
/*這里簡便處理*/
tempMa[0][0] = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B [1][0];
tempMa[0][1] = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B [1][1];
tempMa[1][0] = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B [1][0];
tempMa[1][1] = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B [1][1];
memcpy(C,tempMa,sizeof(tempMa));
return 0;
}
MatrixType fibo(int n){
if(n <= 1)
return n;
MatrixType result[][MAX_COL] = {1,0,0,1};
MatrixType A[][2] = {1,1,1,0};
while (n > 0)
{
/*判斷最后一位是否為1，即可知奇偶*/
if (n&1)
{
matrixDot(result,A,result);
}
n /= 2;
matrixDot(A,A,A);
}
return result[0][1];
}
/**main函數部分與fibo.c相同，這里省略*/
該算法的關鍵部分在於對的計算,它利用了我們開始提到的等式，對奇數和偶數分別處理。假設n為9，初始矩陣為INIT則計算過程如下：
- 9為奇數，則計算INIT*A，隨后A變為A*A，n變為9/2，即為4
- 4為偶數，則結果仍為INIT*A，隨后A變為
，n變為4/2，即2 - 2為偶數，則結果仍未INIT*A,隨后變A變為
,n變為2/2，即1 - 1為奇數，則結果為INIT*(A^8)*A
可以看到，計算次數類似與二分查找次數，其時間復雜度為O(logn)。
運行試試看：
$ gcc -o fibo3 fibo3.c
$ time ./fibo3 50
the 50 result is 12586269025
real 0m0.002s
user 0m0.002s
sys 0m0.000s
通項公式解法
斐波那契數列的通項公式為：
關於通項公式的求解，可以當成一道高考數列大題，有興趣的可以嘗試一下（提示：兩次構造等比數列）。C語言代碼實現如下：
/*fibo4.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
unsigned long fibo(unsigned long n)
{
if(n <=1 )
return n;
return (unsigned long)((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));
}
/**main函數部分與fibo.c相同，這里省略*/
來看一下效率：
$ gcc -o fibo4 fibo4.c -lm
$ time ./fibo4
the 50 result is 12586269025
real 0m0.002s
user 0m0.002s
sys 0m0.000s
計算第50個，速度還不錯。
斐波那契數列應用
關於斐波那契數列在實際中很常見，數學上也有很多奇特的性質，有興趣的可在百科中查看。
總結
總結一下遞歸的優缺點：
優點：
- 實現簡單
- 可讀性好
缺點：
- 遞歸調用，占用空間大
- 遞歸太深，易發生棧溢出
- 可能存在重復計算
可以看到，對於求斐波那契數列的問題，使用一般的遞歸並不是一種很好的解法。
所以，當你使用遞歸方式實現一個功能之前，考慮一下使用遞歸帶來的好處是否抵得上它的代價。
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