大學物理復習--恆定磁場

恆定磁場

恆定電流和電動勢

電流、電流密度

電流——大量電荷有規則地定向運動形成電流
電流強度——單位時間內通過某截面地電量

\[I=\frac{dq}{dt}$$方向規定為正電荷移動的方向 電流強度只能在整體上描述導體內電流的大小，當粗細不均勻或是大塊導體時，電流強度常常不能反應電流分布的，為此引入電流密度 **電流密度矢量** $$\vec j=\frac{dI}{dS_\perp}\vec n$$方向為該點場強方向 物理意義：導體中某點的電流密度等於通過該點的垂直於電場方向的單位截面積的電流強度。 **電流密度與強度的關系** 由$dI=jdS_\perp=jcos\theta dS=\vec j\cdot d\vec S$可以得到 $$I=\int_s\vec j\cdot d\vec S\]

物理意義：穿過某截面的電流強度為電流密度矢量穿過該截面的通量

穩恆電場

電流的連續性方程：$$\oint_s\vec j\cdot d\vec S=-\frac{dq}{dt}$$
其意義為：在有電荷流動的導體內任區一閉合曲面S，dt時間內通過S向外凈流出的電荷量應等於同一段時間內S內電荷量的減少。
進一步引出穩恆電流的概念

穩恆電流：導體各處的電流密度不隨時間改變，即$$\oint_S\vec j\cdot \vec S=0$$

在穩恆電流的情況下，導體內的電荷分布不隨時間改變，並因此產生不隨時間改變的電場我們稱為穩恆電場，有$$\oint _l\vec E\cdot d\vec l=0$$
靜電場和穩恆電場比較

靜電場	穩恆電場
產生電場的電荷始終固定不動	電荷分布不隨時間改變，但伴隨着電荷的定向移動
靜電平衡時，導體內電場為0，導體時等勢體	導體內電場不為0，導體內任意兩點不是等勢點
電場有保守性，是保守場，或有勢能	電場有保守性，是保守場，或有勢能
維持靜電場不需要能量的轉換	穩恆電場的存在總要伴隨着能量的轉換

電動勢

非靜電力：能把正電荷從電勢較低點送到電勢較高點的作用力稱為非靜電力，記為\(F_k\)

電動勢\(\varepsilon\)：把單位正電荷從負極經過電源內部移到正極是，電源中非靜電力所做的功$$\varepsilon=\int_-^+\vec E_k\cdot d\vec l$$

磁場、磁感應強度

基本磁現象

運動電荷產生磁場，磁場對運動電荷有磁力作用。
因此：
電荷的運動是一切磁現象的根源

磁感應強度

磁場對外有一些重要表現：
1、磁場對進入場中的運動電荷或載流導體有磁力作用
2、載流導體在磁場中移動時，磁力對載流導體做功
對線圈有：

\[\vec P_m=I_0\Delta S\vec n \]

其中\(\vec P_m\)為磁矩
磁感應強度定義一：磁感應強度的量值為有單位磁矩的實驗線圈所受到的最大磁力矩

\[B=\frac{M_{max}}{P_m} \]

磁感應強度定義二

\[B={F_{max}\over q_0v} \]

大小為小磁針在該點的N極指向
磁感應強度定義三

\[B={d\Phi_m\over dS_\perp}$$方向為磁力線的切向 **磁力線的一些性質**： 1. 磁力線是和閉合電路套合的閉合曲線 2. 任意兩條磁力線不相交 3. 磁力線環繞方向與電流方向可以用右手定則表示 ### 磁場中的高斯定理 $$\Phi_m=\oint \vec B \cdot d\vec S=0$$也即穿過任意閉合曲面的磁通量為0 ## 畢奧---薩法爾定律 >畢奧--薩法爾定律：電流元Idl 在空間某點P處產生的磁感應強度 dB 的大小與電流元Idl 的大小成正比，與電流元Idl 所在處到 P點的位置矢量和電流元Idl 之間的夾角的正弦成正比， 而與電流元Idl 到P點的距離的平方成反比。$$dB=k{IdIsin\alpha\over r^2}\]

穩恆電流的磁場

設電流元為\(Id\vec l\)則：

\[dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\alpha}{r^2} \]

其中\(\mu_0=4\pi\times10^{-7}TmA^{-1}\)轉化為向量形式則為：

\[d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec l\times d\vec r}{r^3} \]

而對於一段載流導線$$\vec B=\int d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{Id\vec l \times\vec r}{r^3}$$

運動電荷的磁場

據\(l=vt,I=\frac{dq}{dt}\)可將穩恆電流的磁場強度公式轉化為：

\[\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v \times \vec r}{r^3} \]

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有限長直導線的磁場

\[B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\theta_1-cos\theta_2) \]

直導線延長線上的磁場強度為\(B=0\)

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圓形電流軸線上的磁場

\[B_x=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^\frac{3}{2}} \]

特別地
當x=0時

\[B=\frac{\mu_0I\theta}{4\pi R} \]

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載流直螺線管內部磁場

\[B=\frac{\mu_0}{2}nI(cos\beta_2-cos\beta_1) \]

磁場的安培環路定理

安培環路定理

在靜電場中，有環路定理$$\oint \vec E\cdot d\vec l=0$$
而在磁場中，則有

\[\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I \]

引出對靜電場和穩恆電場的比較

靜電場	穩恆電場
\(\oint \vec E\cdot d\vec l=0\)	\(\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu_0\sum_iI_i\)
靜電場是保守場，無旋場	磁場是非保守場，有旋場
\(\oint \vec E \cdot d \vec S=\frac{\sum q_i}{\varepsilon_0}\)	\(\oint \vec B\cdot d\vec S=0\)
電力線起於正電荷、止於負電荷，靜電場是有源場	磁力線閉合、無自由磁荷，磁場是無源場

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長直載流螺線管的磁場分布：

\[B=\begin{cases}\mu_0nI&內\\ 0&外\end{cases}\]

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環形載流螺線圈的磁場分布

\[B=\begin{cases}\frac{\mu_0NI}{2\pi r}&內\\0&外\end{cases} \]

\(\because n=\frac{N}{2\pi R_1}\)
\(\therefore b\approx\begin{cases}\mu_0nI&內\\0&外\end{cases}\)

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無限長載流導線平行排列構成的無限大薄板的磁場分布

\[B={\mu_0nI\over2} \]

磁場對載流導線的作用

安培定律：電流元在磁場中受到的大小為$$d\vec F=Id\vec l\times\vec B$$方向沿着右手螺旋定則

載流導線受到的磁力：

\[F=\int d\vec F=\int_LId\vec l\times\vec B \]

載流直導線受到的磁力：

\[F=BILsin\theta \]

磁場對載流線圈的作用

\[M=2*F*\frac{1}{2}d=BIl_2l_1sin\varphi=\vec p_m\times\vec B \]

如載流線圈有N匝\(則\vec p_m=NIS\vec n\)

磁力的功

載流導線在磁場中運動時，磁力做的功：

\[A=F\Delta x=BIL\Delta x=I\Delta\Phi_m \]

載流線圈在磁場中轉動時磁力矩做的功

\[dA=-Md\varphi=Id\Phi_m \]

不難證明，對於任意閉合回路均有：$$A=\int_{\phi_{m_1}}^{\phi_{m_2}}Id\Phi_m$$
當磁矩與磁場方向間夾角為\(\varphi\)時磁矩與磁場的互相作用能為：

\[W_m=-P_mBcos\varphi=-\vec P_m\cdot \vec B \]

磁場對運動電荷的作用

運動電荷在磁場中受到的磁場力

\[\vec f_m=q\vec v\times\vec B \]

霍爾效應

\[U_H=R_H\frac{IB}{b}=\frac{1}{nq}\frac{IB}{b} \]