大物實驗 考點總結
誤差
測量誤差可以用絕對誤差，也可以用相對誤差表示：
誤差分類：
(1)系統誤差(2)隨機誤差(3)粗大誤差
測量結果的評價
評價測量結果，反應測量誤差大小，常用到精密度、正確度和准確度3個概念。
精密度反映隨機誤差大小的程度，它是對測量結果的重復性的評價。精密度高是指測量的重復性好，各次測量值的分布密集，隨機誤差小。但是，精密度不能反映系統誤差的大小。精密度反映測量值離散程度。
正確度反映系統誤差大小的程度。正確度高是指測量數據的算術平均值偏離真值較小，測量的系統誤差小。但是正確度不能確定數據分散的情況，即不能反映隨機誤差的大小。
准確度反映系統誤差與隨機誤差綜合大小的程度。准確度高是指測量結果既精密又正確，即隨機誤差與系統誤差均小。
常用的測量方法有異號法、交換法、替代法、對稱法。
服從正態分布的隨機誤差
服從正態分布的隨機誤差具有下列特點：
(1)單峰性——絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的概率答；
(2)對稱性——大小相等而符號相反的誤差出現的概率相同；
(3)有界性——在一定的測量條件下，誤差的絕對值不超過一定的限度；
(4)抵償性——誤差的算術平均值隨測量次數\(n\)的增加而趨於零。
當測量次數無窮多或足夠多時，測量值的誤差分布才接近正態分布，但是當測量次數較少時（例如，少於10次，物理實驗教學中一般取\(n=6\sim 10\)次），測量值的誤差分布將明顯偏離正態分布，而遵從\(t\)分布，又稱為學生分布。\(t\)分布曲線與正態分布曲線的形狀類似，但是\(t\)分布曲線的峰值低於正態分布；而且\(t\)分布曲線上部較窄，下部較寬。
為什么置信概率取0.95
不確定度的\(A\)類（采用統計方法評定的\(A\)類不確定度）分量用\(u_A(x)\)表示。物理實驗中\(u_A(x)\)一般用多次測量平均值的標准偏差\(s(\overline{x})\)與\(t\)因子\(t_p\)的乘積來估算，即$$u_A(x)=t_ps(\overline x)$$
式中，\(t\)因子\(t_p\)是與測量次數\(n\)和對應的置信概率\(p\)有關，當置信概率為\(p=0.95\)，測量次數\(n=6\)時，我們可以查到\(t_{0.95}/\sqrt{n} \approx 1\)，則有$$u_A(x)=s(x)$$
即在置信概率為\(0.95\)的前提下，測量次數\(n=6\)，\(A\)類不確定度可以直接用測量值的標准偏差\(s(x)\)估算。
因此，在未加說明時，普遍采取置信概率\(p=0.95\)。
測量不確定度和結果的表達
不確定度由兩類不確定度合成
- A類不確定度：采用統計方法評定的不確定度，即對多次測量的數據進行處理而得到的不確定度，以\(u_A(x)\)表示。
- B類不確定度：采用非統計方法評定的不確定度，即\(u_A(x)\),常常用儀器誤差\(\Delta_儀\)來表示。
（一般來說這個儀器誤差會給出，所以不需要背）
合成不確定度與測量結果的表達
下式就是不確定度的合成公式：
完整的數據處理結果，標准形式如下：
式中，\(\overline x\)為多次測量的平均值，\(u(x)\)為合成不確定度，\(u_r\)是兩者的比值，稱為測量的相對不確定度。
不確定度的求解
直接測量不確定度的求解過程
1.單次測量
因為我們的實驗過程都是指定的，並不需要我們自己來構思實驗過程，所以對於測量單次或者多次無需判斷，這部分不在考點內。
當遇到測量結果是單次測量時，我們的不確定度只有\(u_B(x)\)一項。它的取值有兩種，一種是儀器標定的最大誤差限（暫時沒遇到，如果有應該會在型號說明那把），第二種是實驗室給出的最大允許誤差\(u(x)=u_B(x)=\Delta_儀\)。如果兩種都有，取較大者。
2.多次測量
多次測量時，不確定度一般按照下列過程進行計算：
- 求多次的測量數據的平均值\(\overline{x}=\sum \frac{x_i}{n}\);
- 修正已知系統誤差，得到測量值，例如，已知螺旋測微儀的零點誤差為\(d_0\)，修正后的測量結果為\(d=d_測-d_0\)；
- 用貝塞爾公式計算標准誤差$$s(x)=\sqrt{\cfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2}{n-1}}$$
- 根據儀器標定的最大誤差限，或實驗室給出的最大允許誤差，確定\(u_B(x)\)；
- 根據$u_A(x)和u_B(x)求合成不確定度 $$u(x)=\sqrt{u^2_A(x)+u^2_B(x)}$ ；
- 計算相對不確定度\(u_r(x)=\cfrac{u(x)}{\overline {x}} \times 100 \%\);
- 給出測量結果$$\begin{cases}x=\overline{x}\pm u(x) \\
u_r=\cfrac{u(x)}{\overline x}\times 100 %
\end{cases}$$
間接測量的不確定度
在實際測量中，我們遇到的往往是間接測量，因此間接測量具有非常重要的意義。假設物理量\(F\)是\(n\)個獨立的直接測量量\(x,y,z,\cdots\)的函數，即\(F=f(x,y,z,\cdots)\)，如果它們相互獨立，則\(F\)的不確定度可由各直接測量量的不確定度合成，即$$u(F)=\sqrt{\left(\cfrac {\partial{f}}{\partial {x}}\right)^2 u^2 (x)+\left(\cfrac {\partial{f}}{\partial {y}}\right)^2 u^2 (y)+\left(\cfrac {\partial{f}}{\partial {z}}\right)^2 u^2 (z)+\cdots}$$
式中，\(u(x),u(y),u(z)\)為各直接測量量\(x,y,z,\cdots\)的不確定度。
當\(F=f(x,y,z,\cdots)\)中各觀測量之間的關系是乘、除或方冪時，采用相對不確定度的表達方式，可以大大簡化合成不確定度的運算。
方法是先取自然對數，然后作不確定度的合成，即
間接測量不確定度的計算過程類似直接測量的計算過程，這里就不寫了，只是將\(u(x)\)替換成\(u(F)\)。
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有效數字及其運算法則
有效數字
對於有效數字注意以下幾點即可
*有效數字位數多少的計算是從測量結果的第一位（最高位）非零數字開始，到最后一位數。
*數字結尾的0不應隨便取舍，因為它與有效數字密切相關。例如，\(103000\)與\(1.03\times 10^5\)不一樣，前者有6位有效數字，而后者只剩下3位。
*常用數學常數的有效位數（即\(e\)、\(\pi等\))，可根據需要進行取舍，一般取位應比參加運算各數中有效位數最多的數再多一位。
*在儀器上直接讀取測量結果時，有效數字的多少是由被測量的大小及儀器的精度決定。正確的讀數，應在儀器最小分度以下再估讀一位，除非有特殊說明該儀器不需要估讀。如千分尺等指針式器具，加上我們估讀的那位，才讀到千分位。而精密數字顯示儀器和游標儀器就不用估讀。
有效數字的近似運算法則
*在加減法運算中，有效數字取決於參與運算的數字中末位位數最高的那個數。
*乘除法運算的有效位數取決於參與運算數字中有效位數最少的那個數，必要時可多取一位。(當兩個乘數的第一位數相乘大於10，則多取一位）
四則運算的基本原則與以上相同。
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特殊函數的運算（三角函數、對數）
這里一定是個考點。
例：已知角度為\(15^\circ21’\)，求\(sinx\)。
答：在x的最后一位數上取1個單位作為\(x\)的不確定度，即\(u_{min}=\Delta=1'\)，將它化為弧度有\(\Delta x=0.000\ 29rad\)；設\(y=sinx\),並對其求微分，得\(\Delta y=cosx\Delta x \approx 0.000\ 28\)，不准確位是小數點后的第4位，因此\(sin x\)應取到小數點后的第4位，即\(sinx=0.264\ 7\)。
如果上述角度是\(15^\circ21'10''\),則\(\Delta x=1''=0.000\ 004\ 85 rad\)，可算出\(u(y)=cosx \Delta x \approx 0.000\ 004\ 7\),不准確位是小數點后第6位，因此\(sinx\)應取到小數點后的第6位，即\(sinx = 0.264\ 761\)。
例：已知\(x=57.8\),求\(lg\ x\)。
答：設\(y=lg\ x\),已知\(u_{min}=\Delta x=0.1\),有\(\Delta y=\Delta(ln\ x/ln\ 10)=0.434\ 3\Delta x /x \approx0.000\ 75\),因此\(lg\ x\)應取到小數點后第4位，即\(lg\ x =1.761\ 9\)。
綜上所述，總結如下：
*加、減法運算，以參加運算各量中有效數字末位最高的為准，並與之對齊；
*乘、除法運算，以參加運算各量中有效數字最少的為准，必要時可多取一位。(當兩個乘數的第一位數相乘大於10，則多取一位）
*混合四則運算按以上原則進行；
*特殊函數運算，通過微分關系進行；
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數據的修約和測量結果的表述
不確定度的有效位數在一般情況下，保留一位，至多不超過兩位。
具體：如果不確定度有效位數的第一位數小於或等於3，允許保留2位有效數字；如果不確定度有效位數的第一位數大於3，則只能保留一位有效數字
（在實際中經常會遇到測量結果與不確定度的有效位數發生矛盾的情況，原則是以不確定度的有效位數確定測量結果的有效位數，因此在計算測量結果時不要過早地將數字截斷）
數據截斷時，剩余的尾數按”小於5舍棄，大於5進位，等於5湊偶”
等於5湊偶的意思是當尾數等於5，且5后沒有其他不為零的數字時，如果它前面的數是奇數，則加1，將其湊成偶數，如果是偶數則不變。
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常用數據處理方法
作圖法
1.選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小:
坐標分度值的選取應能反映測量值的有效位數，一般以 1～2mm對應於測量儀表的最小分度值或對應於測量值的次末位數）。
2. 標明坐標軸：
用粗實線畫坐標軸，用箭頭標軸方向，標坐標軸的名稱或符號、單位,再按順序標出坐標軸整分格上的量值。
3.標實驗點：
實驗點可用“+"、 “\(\times\)”、“\(\circ\)”等符號標出（同一坐標系下不同曲線用不同的符號）。
4. 連成圖線：
用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。一般不強求直線或曲線通過每個實驗點，應使圖線線正穿過實驗點時可以在兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點處斷開。
5.標出圖線特征：
在圖上空白位置標明實驗條件或從圖上得出的某些參數。如利用所繪直線可給出被測電阻R大小：從所繪直線上讀取兩點 A、B 的坐標就可求出 R 值。
6.標出圖名：
在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。
至此一張圖完成
注意點
*問題：曲線太粗，不均勻，不光滑
應該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線。
*問題：橫軸坐標分度選取不當
橫軸以3 cm 代表1 V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標分度值時，應既滿足有效數字的要求又便於作圖和讀圖，一般以1 mm 代表的量值是10的整數次冪或是其2倍或5倍。
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圖解法
實驗曲線作出后，可由曲線求出經驗公式及所含參數，稱為圖解法。物理實驗中常見的有：直線，指數曲線，拋物線等。其中直線是最簡單的一種。
建立經驗公式的一般步驟：
*第一步：根據曲線的形狀判斷曲線的類型；
*第二步：由曲線的類型判斷公式的特點，建立經驗公式；
*第三步：用實驗數據來檢驗公式的准確度。
由曲線圖直接建立經驗公式是困難的，我們可以用變數置換法把曲線圖改成直線圖，再按建立直線方程的辦法建立經驗公式。
（1）確定直線圖形的斜率和截距求測量結果
圖線\(y=kx+b\)，可在圖線上選取兩點\(P_1(x_1,y_1)\)和\(P_2(x_2,y_2)\)（不能用原來測量的點）計算其斜率：$$k=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
\(P_1\)和\(P_2\)不要太靠近，以減小誤差。其截距b是當\(x=0\)時的y值；或選取圖上的任一點\(P_3(x_3,y_3)\)，帶入\(y=kx+b\)中，並利用斜率公式得：$$b=y3-\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_3$$
確定直線圖形的斜率和截距以后，再根據斜率或截距求出所含的參量，從而得出測量結果。
（2）根據圖線求出經驗公式
這個就只是將函數適當轉換成線性關系，不多說，這個初高中做得挺多的。
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逐差法
在使用逐差法計算時，必須把測量數據分成高、低兩組，對這兩組實行對應項相減，不能采取逐項相減的辦法處理數據。
為了保持多次測量的優點，體現出多次測量減小隨機誤差的目的，將一組等間隔連續測量數據（共\(2n\)次）按次序分成高低兩組（兩組次數應相同）。
一組為\(x_0,x_1,\cdots,x_n-1\)，另一組為\(x_n,x_{n+1},\cdots,x_{2n-1}\),取對應項的差值后再求平均值：$$\delta=\frac 1n \sum_{i=0}^{n-1}(x_{n+i}-x_i)$$
標准偏差（即不確定度）為$$s(\delta)=\sqrt{\cfrac {\sum_{i=0}^{n-1}[(x_{n+i}-x_i)-\delta]^2}{n-1}}$$
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最小二乘法
設已知函數的形式為$$y=bx+a$$
式中，a和b為兩個待定系數，成為回歸系數；只有\(x\)為變量，由於只有一個變量，因此稱為一元線性回歸。
（1）回歸系數的確定
回歸系數a與b為$$\begin{cases} b=\cfrac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\overline{x^2}-\overline{x} ^2}\\
a=\overline{y}-b\overline{x}
\end{cases}$$
(2)相關系數的確定
為了判斷所作的線性回歸結果是否合理，引入線性回歸相關系數的概念，相關系數以\(r\)表示，定義公式為$$r=\cfrac {\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{(\overline{x}^2-\overline{x^2})(\overline{y}^2-\overline{y^2})}}$$
相關系數\(r\)的取值范圍為\(-1<r<+1\)。當\(r>0\)時，回歸直線的斜率為正，稱為正相關。當\(r<0\)時，回歸直線的斜率為負，稱為負相關。且\(|r|\)越接近1，說明數據點越靠近擬合曲線，即設定的回歸方程越合理。
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實驗報告思考題
3.1示波器的使用
思考題：
1.如果波形不穩，總是向左或向右移動，該如何調節？
答：檢查觸發源是否正確，如正確，調節觸發電平，當Trig'D燈亮，波形穩定。
2.示波器“電平"旋鈕的作用是什么？什么時候需要調節它？觀察李薩如圖時，能否用它把圖形穩定下來？
答：點評是使觀測喜好在屏幕上穩定顯示的電位器；波形在屏幕上左右滾動時，調節此電平，波形可穩定；觀測李薩如圖時不起作用。
3.如果打開示波器后，只看到一個或兩個移動的點而沒有掃描線，是什么原因？應如何調整？如果看到的是一個或兩個固定不動的點呢？
答：掃描速度較低，將掃描時間因數往快調；處於X-Y狀態，調到掃描A狀態即可。
3.2空氣中的聲速測定
思考題：
1.調整信號的頻率和移動接受換能器的位置（振幅法）都是為了使接受換能器的輸出達到極大，並且都被稱為共振，它們是一回事嗎？
答：不是。調整頻率達到共振是指探頭的諧振頻率，使探頭有最大輸出功率。移動接收換能器的位置達到共振是使超聲波在兩探頭間形成駐波。
2.行波比較測量聲速實驗中，將發送換能器的信號輸入到CH1通道，接受換能器的信號輸入到CH2通道，此時，示波器的觸發源應如何選擇？
答：選擇CH1通道，因為發生換能器的信號更強，更穩定。
3.在振幅法中，示波器上看不到接受換能器的輸出波形，但連線無誤，儀器和導線（電纜）無故障，以下三種分析是否合理？如原因屬實，應當如何處理？
（1）信號源的頻率偏離換能器共振頻率太遠；
（2）激勵發生器的信號幅度太小；
（3）VOLTS/DIV選擇不當。
答：
（1）合理。調整信號源頻率，使換能器工作在諧振頻率上。
（2）合理。增加信號源的輸出電壓。
（3）合理。可能電壓分度值過高，改變接收換能器信號輸出端的VOLTS/DIV，放大接收信號。
4.振幅法中，如果極大值振幅超過熒光屏顯示范圍，有人認為以下三種調節方法可使信號不超出范圍，你認為可行嗎？
（1）改變示波器VOLTS/DIV旋鈕的檔位；
（2）調節信號發生器的輸出幅度；
（3）調節信號發生器的頻率；
答：（1）、（2）可行，仍能保證實驗數據的准確性。（3）不行，頻率變化，幅度仍不變。
5.實驗中，能否固定發射器與接收器之間的距離，利用改變頻率測聲速？
答：不行，\(v=f\lambda\),無法測出波長。
6.利用目前的儀器設備可以實現對移動距離的測量嗎？
答：可以
3.3惠斯通電橋測量中值電阻
思考題：
1.使用交換法測未知電阻時\(R_1,R_2\)的阻值在交換前后是否可以改變？為什么？例如交換前\(R_1=R_2=100.0 \Omega\),交換后\(R_1'=R_2'=500.0\Omega\)。
答：不可以改變。因為改變沒有意義。由數據處理可知，交換法的優勢在於：消除\(R_1,R_2\)對測量\(R_x\)的影響，使之只與\(R_s、R_s'\)有關，以下證明：