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大學物理 —— 振動學
本來不想寫的…
目錄
1. 振動的概念2. 簡諧振動3. 彈簧振子4. 旋轉矢量:5. 簡諧振動實例單擺 （擺動角度很小：θ ≈ sinθ)6. 簡諧振動的能量7. 簡諧振動的合成7.1 多頻同向的兩個振動合成7.2 多個同頻同向同振幅振動，相位差成等差且公差為δ7.3 同向不同頻的兩個振動7.4 垂直方向合成8. 阻尼運動8.1 阻尼振動：受到阻力作用的振動，也稱減幅振動。8.2 阻尼振動表達式：9. 受迫振動 共振
1. 振動的概念
振動： 自然界中物質的一種很普遍的運動形式。
廣義上的振動是描述一切物質運動狀態的物理量在某一數值附近做周期性的變化。
- 機械振動： 物體在一定位置附近作周期性的往返運動。
- 電磁振動： 電流、電壓、電場強度、磁場強度在某一平衡值作周期性變化。
2. 簡諧振動
簡諧振動： 離開平衡位置的唯一（或角位移）按余弦函數/正弦函數的規律變動
簡諧振動方程
物理量(補充用)
角頻率：描述振動快慢的物理量，決定於振動系統的動力學性質。
由初使條件(x0，v0)確定的物理量：
- 振幅： 振動物體離開平衡位置的最大距離。
- 初相：t = 0時的相位。
- 振幅： 振動物體離開平衡位置的最大距離。
相位差： 同一時刻相位的差。
- 超前 ：相位差 > 0 (指減號左邊)
- 滯后 ：相位差 < 0 (指減號左邊)
- 同相 ：相位差為偶數π倍 (±2kπ）
- 反相 ：相位差為奇數π倍 (±(2k+1)π）
角頻率數值上等於諧振動系統中旋轉矢量轉動的角速度。
質點作簡諧振動時，速度和加速度也隨時間作周期性變化。（求導）
3. 彈簧振子
彈簧振子： 研究諧振的理想模型
設一條彈簧長為l，截面積為S，楊氏模量為Y
- 彈勁系數：
- 彈勁系數：
設兩條彈簧的彈簧勁度：k1,k2
- 串聯：
- 並聯：
- 串聯：
注意上式彈簧串並聯的等效勁度系數和電阻串並聯顛倒的。
諧振動的標准方程推導：
角頻率：
推導過程：聯立牛頓第二定律和胡克定律
變形得到位移和角頻率的關系
然后直接代入上式，直接寫：
練習:
一勁度系數為k的彈簧截成三等份，取其中兩份並聯，並掛上一質量為m的物體，求振動系統的頻率。
答：（對對對，寫屏幕上）
4. 旋轉矢量:
- 參考圓（對應圓周）上的旋轉矢量：
- 角度： 相位 ➡ 矢量與x正軸的夾角
- 半徑： 振幅 ➡ 矢量的模長
- 角速度： 角頻率 ➡ 矢量旋轉的角速度
- 線速度：振動速度 ➡ 矢量端點的線速度（上負下正）
5. 簡諧振動實例
單擺 （擺動角度很小：θ ≈ sinθ)
周期：
6. 簡諧振動的能量
動能和勢能：一個周期內勢能和動能的平均值都為總能量的一半。
- 動能：
- 勢能：
- 動能：
總機械能守恆，且總能量與振幅的平方成正比。
7. 簡諧振動的合成
7.1 多頻同向的兩個振動合成
7.2 多個同頻同向同振幅振動，相位差成等差且公差為δ
7.3 同向不同頻的兩個振動
- 合振動不是簡諧振動
- 一般情況下，合振動沒有明顯的周期性
- 兩個頻率都比較大且差值很小時，則會出現明顯的周期性
- 拍： 單位時間內合振幅加強或減弱的次數
7.4 垂直方向合成
- 同頻： 一般為橢圓
- 周期或頻率成簡單的整數比: 合運動具有穩定封閉
8. 阻尼運動
8.1 阻尼振動：受到阻力作用的振動，也稱減幅振動。
- 阻力系數： γ
- 阻力與速度成正比（速度不大時）：
- 阻力與速度成正比（速度不大時）：
- 阻尼系數： β
8.2 阻尼振動表達式：
- 欠阻尼： 阻尼過小，也叫弱阻尼。
- 過阻尼： 阻尼過大
（對於非物理專業的人來說，選擇題或許還能"認識"這條公式）
- 臨界阻尼：
（深入阻尼的話，其實還有一些拓展，只是了解）
9. 受迫振動 共振
受迫振動： 在驅動力作用下系統的振動。
- 驅動力： 隨時間變化（周期性）外力。（周期性常指余弦）
- 驅動力的頻率ω：穩定時系統振動的頻率，也是受迫振動的頻率。
（物體受迫振動頻率與振動物體的固有頻率無關）
運動方程：
（其實就一個欠阻尼和一個簡諧振動合成）
- 暫態項：欠阻尼那部分，會隨時間衰減為零。
- 穩定項：簡諧振動那部分，穩定時的方程。
- 振幅：
共振： 當驅動力頻率等於振動系統的固有頻率時，振幅取最大值時的現象。
