簡諧振動
簡諧振動就是無阻力的振動,簡諧振動在時間上具有周期性,在空間上具有重復性.
簡諧振動方程
對於一個質量為\(m\),彈性系數為\(k\)的彈簧振子,
彈簧振子和靜止狀態的位置距離是\(x\),速度是\(v\),加速度是\(a\),有以下性質
\[由牛頓第二定律得,F=ma\\ 由胡克定律的,F=kx\\ 所以a=\frac{kx}{m}\\ 由速度相關公式得a=\frac{d^2x}{dt^2}\\ 所以\frac{d^2x}{dt^2}-\frac{kx}{m}=0\\ 根據數學結論,一個形如\frac{d^2x}{dt^2}+w^2x=0的方程\\ 可以轉換為形如x=Acos(\omega t+\phi)的形式\\ 所以x=Acos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t+\phi)\\ 其中A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}\\ tan\phi=\frac{-v_0}{\omega x_0} \]
\(A\)是振幅,\(\omega\)是角速度,\(\phi\)是初始相位,他們被稱為振動三要素.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\),
振動的位置\(x=Asin(\omega x + \phi)\)
振動的速度\(v=A\omega cos(\omega x + phi)\)
簡諧振動能量
振動的動能如下
\[E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\cdot A^2\omega^2 cos^2(\omega t+\phi)=\frac{1}{2}k\cdot A^2cos^2(\omega t+\phi) \]
振動的彈性勢能如下
\[E=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}k\cdot A^2sin^2(\omega t+\phi) \]
振動的總能量如下
\[E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)+\frac{1}{2}kA^2sin^2(\omega t + \phi)=\frac{1}{2}kA^2 \]
他是恆定不變的
振動的合成
兩個同方向同頻率簡諧振動如下
\[x_1=A_1cos(\omega t+\phi_1)\\ x_2=A_2cos(\omega t+\phi_2) \]
他們合成之后,依然是同方向,同頻率的簡諧振動,合成的振動相關值如下
\[A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\phi_2-\phi_1)}\\ \phi=arctan\frac{A_1sin\phi_1+A_2sin\phi_2}{A_1cos\phi_1+A_2cos\phi_2} \]