##nolting多體物理第二章多體模型系統2 晶格振動

本文轉載自查看原文 2021-02-20 22:09 354 多體物理

2.2節晶格振動
1.簡諧近似
1）離子子系統的動能、勢能
2）原子力常數矩陣
3）位移u的方程（2.127）
4）極化矢量

ε_{s}^{(r)} (q)

、位移u的方程（2.127）的通解（2.142）、色散關系、簡正坐標（2.143）
2.聲子氣
1）離子子系統哈密頓量（2.152）
2）簡正模（每個簡正坐標對應一個振動模式，即簡正模）。一個簡正模的能量（即一個振動模式的能量）、系統能級的表達式
任一原子的通解是這3nN個特解的疊加！
3）量子化
4）量子化后，哈密頓量的表達式：
5）簡正坐標隨時間變化公式、產生湮滅算符隨時間變化公式
6）聲子、聲子氣體(即無相互作用的聲子組成的氣體）
3.李正中書的內容：
4.callaway書的內容：
注意歸一化的n聲子態的公式：

量子化得到聲子的過程有兩種，一種是callaway書中的量子化的過程及公式，一種是nolting書、李正中書的過程及公式.
我覺得很奇怪，nolting是一個寫書很嚴謹的人，為什么我不能從書中說的“從（2.157）證（2.166）”？也許nolting書錯了？不知道
nolting書這一節的公式其實和李正中書的公式完全一樣，以后學李正中書！
nolting書這一節和M. T. Dove,Introduction to lattice dynamics書第4、6章講晶格振動很類似。Dove書寫得更多內容，寫得好，但可能沒時間。而callaway書中文版寫得也和nolting書這里完全類似，寫得好，晶格振動以后一定學callaway書，這本才是固體理論書。

此固體理論講義寫的晶格振動、聲子也參考了callaway的書，好像也很好。

2.2節晶格振動

在第2.1節中，假設晶格離子是靜止的，只研究了電子系統的激發。按照(2.6)中的程序，我們現在要更詳細地討論離子子系統；即(2.3)的哈密頓量現在將是關注的中心。

如果能量被轉移到單個晶格離子，例如通過粒子碰撞，由於強烈的離子-離子相互作用，它將迅速分布在整個晶格上。局域激發將轉變為集體激發，最終所有晶格格點都參與其中。因此，在數學描述中使用仍待定義的集體坐標來代替離子坐標是有利的。在這個表象中，晶格振動可以被量子化。相應的量子稱為聲子。

1.簡諧近似

1）離子子系統的動能、勢能

晶格振動所需的恢復力( restoring forces)是結合力(bonding forces)，它可以有相當不同的物理來源。然而，定性地說，對勢（pair potential） $V_{i} (∣ R_{α} - R_{β} ∣)$ 總是具有相同的形式。勢能最小值定義了平衡距離 $R_{α β}^{(0)}$ 。所謂的簡諧近似包括將勢能曲線的末端近似視為拋物線，這對於偏離平衡距離較小的偏移量似乎是合理的。接下來我們將更定量地討論這一點。
我們的起點將是一個【基矢包含p個原子】的Bravais格子（即復式格子），正如我們在(2.9)中描述它：

其中 $s = 1, 2, \dots, p$ and $m \equiv (m_{1}, m_{2}, m_{3}); m_{i} \in Z,$

（其中的 $R_{α}^{(0)}$ 是離子平衡位置）

根據此注釋中（2.9）知道，（2.118）中的 $R_{s}^{m}$ 其實是離子平衡位置。
令：
$x_{s}^{m} (t)$ ：是第 $(m ， s)$ 個原子的瞬時位置，
$u_{s}^{m} (t)$ ：是第 $(m ， s)$ 個原子偏離平衡的位移。
結果我們發現：

晶格離子的動能由下式給出：

根據動能表達式 $E = \frac{1}{2} m v^{2}$ 知道此式確實成立。

對於勢能，我們寫道：

其中，
表示所謂的結合能(binding energy).

結合能 $V_{0}$ ：是離子處於平衡位置時的勢能。
離子-離子之間的勢能是指庫倫相互作用的勢能+泡利原理產生的排斥勢，其中電勢能的表達式見固體物理筆記本”離子晶體“一節，見北大固體物理65頁（3.0.1）：
（此哈密頓量少了泡利原理產生的排斥勢等）
固體物理筆記本：

對非極性分子晶體，還有非極性分子間的瞬時電偶極矩相互作用（范德瓦爾斯相互作用等），見固體物理筆記本。

我們在平衡位置附近展開V(圖2.4)：

因為勢能V與所有原子都有關（因為對勢），根據多元函數泰勒展開，就得到(2.124)式。

圖2.4 固體中對勢(pair potential)的簡諧近似圖示

此圖的原因查課件等，沒時間

簡諧近似現在包括忽略余數 $O (u^{3})$ 。位移u通常小於晶格間距的5%，因此簡諧近似是非常合適的。因此，高階項，即所謂的非諧項，最初是不感興趣的。
對於(2.124)中的偏導數 $ϕ$ ，我們發現：

這就是平衡位置的定義。

因為平衡時勢能取極小值，故（2.125）成立。類似課件：

2）原子力常數矩陣

二階導數形成一個原子力常數矩陣

為了更好地理解這一重要矩陣，以下陳述非常有用：
$- φ_{m, s, i}^{n, t, j} u_{t, j}^{n}$ ：是 $i$ 方向的力，它是【在當第 $(n ， t)$ 個原子在 $j$ 這個方向上移動了 $u_{t, j}^{n}$ 位移，而所有其他原子保持不變時】，作用在第 $(m ， s)$ 個原子的力。

此陳述的原因：M. T. Dove,Introduction to lattice dynamics書83、84頁(這兩頁看起來有些東西沒解釋，其實是因為在前面章節解釋過了，所以應從前面一些章節開始學）等，介紹了原子力常數和（2.127）式等，適合初學者，有時間才學：

原子力常數這些內容在三維晶格振動的內容中有，故可能在黃昆晶格動力學（有中文版）等書也可能有.
我自己對此陳述的一個理解：

3）位移u的方程（2.127）

因此，簡諧近似對應於線性作用力定律，如在諧振子中：

根據牛頓定理f=ma和上面的陳述知此式成立。李正中書說此式也可以由哈密頓量正則方程得到，證明見李正中書。

力常數矩陣有幾個明顯的對稱性。它直接根據其定義（2.126）得出以下結論：

平移整個固體 $Δ x = (Δ x_{1}, Δ x_{2}, Δ x_{3})$ ，力自然保持不變。因此，它是從

得到以下公式成立：

最后，平移對稱性得到：

（2.129）、（2.130）證明：

4）極化矢量 $ε_{s}^{(r)} (q)$ 、位移u的方程（2.127）的通解（2.142）、色散關系、簡正坐標（2.143）

為了解(2.127)，我們首先采用以下形式的試解：

代入(2.127)，得到本征值方程：

其中實對稱矩陣：

（2.132）、（2.133）證明:

它（指的是（2.133））有3pN個實本征值 ${(ω_{s, i}^{m})}^{2}$ ，因此本征值 $ω_{s, i}^{m}$ 同樣是實數或純虛數。只有實本征值才代表物理解。利用平移對稱性(2.130)，特征值問題的維數從3pN降低到3p：

這里，我們使用了以下定義：

設為（2.135）形式的原因見Dove書第六章（6.18）和第四章也有寫原因等，有寫，但我沒時間讀。其實原因應該見李正中書

等式(2.134)是具有3p個特征值的矩陣K的特征值方程，這3p個本征值為：

晶體是各向異性的。因此，對於每個方向 $q / | q |$ ，必須將這些色散分支 $ω_{r} (q)$ 確定為 $q = | q |$ 的函數。有關雙原子線性鏈的標准例子的詳細信息，可以在固體物理教科書文獻中找到。我們可以在那里找到(習題2.2.1)：
$\begin{aligned} 3 支声学支 & ⟺ ω (q = 0) = 0 \\ 3 (p - 1) 支光学支 & ⟺ ω (q = 0) \neq 0 . \end{aligned}$

固體物理筆記本中寫了，3p支中有3支聲學支，3(p-1)支光學支。一維雙原子鏈的色散關系見筆記本圖，即知道上面的結論。

由於周期邊界條件，波數 $q$ 是離散的。如果 $G$ 是倒易格子中的任意向量，則由於 $\exp (i G \cdot R^{m}) = 1$ ，我們有：

這意味着人們只需要考慮第一布里淵區內的波數 $q$ 。運動方程的時間反轉不變性最終導致：

（2.138）證明：

（2.139）證明：我之前寫的一個（2.139）的證明（此證明錯誤）:

K矩陣不變，則根據久期行列式為0而得到的色散關系不變，故得：，因為頻率取正實數，故（2.139）得證。
但是后來我發現上面這個證明錯誤，因為上面證明過程中這句話錯誤，因為

故上面這個證明錯誤。
正確證明是根據callaway書中的證明來證：
callway書第4頁：

(此證明中有一些過程省略了，比如其實需要證明K矩陣（類似callaway書中的D矩陣）是厄米矩陣，可能可以通過石墨烯格子特殊值法來證，比較復雜，我未證明，還有一些證明過程，沒時間省略。）
故根據以上callaway書的證明過程，完全類似地就可以得到，因為頻率取正實數，故（2.139）得證。

注意完全類似callaway書(1.1.21)的證明過程，可以得到一個較重要的結論:（2.139.1）

對於 $3 p 个 ω_{r}$ 中的每一個 $ω_{r}$ ，方程(2.134)有一個解：

因為i可以取x，y，z，故其實 $ε_{s}^{(r)} (q)$ 是一個矢量，在李正中書中稱此為極化矢量 $ε_{s}^{(r)} (q)$ .

（2.140）可以選擇為使得正交關系成立：

怎么證明存在使得正交關系成立的解？沒時間。callway書說了這個完備性和正交性條件可以得到，但沒寫出過程。應該見李正中書
callaway書：

因此，運動方程(2.127)的通解最終被發現為：
（任一原子的通解是這3pN個特解的疊加，見證明過程）
這里，我們將時間因子 $\exp (- i ω_{r} (q) t)$ 包括在疊加系數 $Q_{r} (q, t)$ 中。
使用求出簡正坐標 $Q_{r} (q, t)$ ：

其遵守諧振子運動方程：

（2.142）、（2.143）、（2.144）證明：
根據課件中：任一原子的通解是這3pN個特解的疊加

后來我發現上面這些證明過程中寫的錯誤，因為通解是特解的線性疊加，還有疊加系數，我漏了疊加系數，加上疊加系數就應該是：。（為什么疊加系數沒有含t？我覺得可能是一種假設，為了符合實驗，或者有其他原因，沒時間，算了）
（2.144)還可以用哈密頓量正則方程來證明，見李正中書。

注意，實際上（2.142）證明過程中得到的簡正坐標表達式：（2.165）很重要。

2.聲子氣

1）離子子系統哈密頓量（2.152）

前面幾節的簡諧近似給出了離子系統的拉格朗日函數L=T−V的以下表達式：

根據（2.124）：
，若忽略結合能，則得到（2.145）。

我們希望用簡正坐標表示L。我們重新安排，利用：

(2.147)證明：為使得位移 $u_{s, i}^{m}$ 是實數，根據（2.142）的共軛復數等於其本身可以知道(2.147)式必須成立。
（2.146）證明：在為知傅里葉變換：

動能：

（2.148）證明：
（這里取系數c=1嚴謹嗎，不知道，在callaway書證明(1.1.21)時也用了一個取c=1的方法，我也不知道合理嗎，沒時間，算了，也許就是為了符合實驗？沒有為什么？）

以類似的方式，我們找到勢能：

（2.149）證明：沒時間，省略，其中倒數第三行到倒數第二行的證明是：

綜上，拉氏量：

正則動量：

這樣算正則動量的原因見為知量子場論筆記。

哈密頓量H=T+V：

這是一個值得注意的結果，因為通過變換到簡正坐標，我們已經證明哈密頓量分解成3pN個非耦合線性諧振子的和。

但是根據李正中書32頁，此說法不對。李正中書：

根據李正中書知道，應該是哈密頓量（2.164）才代表3pN個無耦合諧振子：

經典諧振子的哈密頓量是 $\frac{1}{2 m} p^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ .

2）簡正模（每個簡正坐標對應一個振動模式，即簡正模）。一個簡正模的能量（即一個振動模式的能量）、系統能級的表達式

固體物理課件中有一些補充內容：每個簡正坐標對應一個振動模式，即簡正模。一個簡正模的能量（即一個振動模式的能量）、系統能級的表達式見課件。
這些課件內容重要，一定應復習：

任一原子的通解是這3nN個特解的疊加！

聲子：

3）量子化

下一步是對經典變量進行量子化。位移 $u_{s, i}^{m}$ 和動量 $M_{s} {\dot{u}}_{s, i}^{m}$ 現在變成了具有基本對易關系的算符：

通過代換，我們得到了簡正坐標及其正則共軛動量的對易關系：

證明：使用(2.143)和(2.153)，我們立即獲得：

對於第三個關系，我們使用(2.154)從而得到：

利用(2.141)，最終得出以下結論：

引入產生湮滅算符 $b_{q r}$ 和 $b_{q r}^{+}$ ：

從以上兩個公式可以直接得到：
（從此式知，簡正坐標和其共軛動量不是厄米算符）
及產生湮滅算符：

1.（2.157）、（2.158）這里並不是類似量子化KG場論.md中量子化復KG場時引入兩種產生湮滅算符a和b，而是只引入了一個b，可能是因為拉氏量（2.150）和復KG場拉氏量不同。
2.（2.159）的另一種證明方法：這里簡正坐標Q和其共軛動量 $Π$ 是復數，故量子化后不需要它們是厄米算符這個條件。在量子力學筆記本中有：實驗上對任一被測態可觀測的力學量，當然要求平均值是實數，相應的力學量算符要求為厄米算符。故位移算符 $u_{s, i}^{m}$ 是厄米算符。再根據（2.143）：
和（2.139.1）知道：

（2.159）得證。
3.（2.157）、（2.158）這樣構造和引入產生湮滅算符的原因：
（2.157）、（2.158）這樣構造和引入產生湮滅算符，有 $q$ 和 $- q$ ，好像有點奇怪，但我認為其原因可能就是：前面2.中已經用另一種方法證明了（2.159）： $Q_{r}^{+} (- q) = Q_{r} (q); Π_{r}^{+} (- q) = Π_{r} (q)$ ，此式中就有 $- q$ ，故為了滿足（2.159），且完全類比量子力學筆記本中諧振子升降算符解法中：
的系數，並且為了得到只含q的哈密頓量表達式（2.164），就猜測地構造了（2.157）、（2.158）。（在量子化KG場的筆記中也是猜測地構造了場算符用產生湮滅算符來表示的表達式）
4.callaway的書中量子化的過程和這里有點不同，其產生湮滅算符的表達式（1.4.13）和這里的（2.160）（2.161）稍微有些差別在於簡正坐標和共軛動量上的共軛符號；但最后得到的哈密頓量表達式都相同，都是（2.146）這個公式。callaway書的內容見后面，其中提到callaway書中得到聲子的二次量子化的詳細討論有schweber(1961)給出。
5.李正中書量子化得到聲子的公式都和這里的相同

產生湮滅算符的對易關系：

因此它們是玻色子算符。

證明：

4）量子化后，哈密頓量的表達式：

我們還可以利用(2.139)：，然后在簡諧近似下獲得離子晶格的量子化振動的哈密頓量( Hamiltonian for the quantised vibrations of the ion lattice)：

我們在這里處理的是一個3pN個非耦合諧振子的系統。

5）簡正坐標隨時間變化公式、產生湮滅算符隨時間變化公式

在(2.157)和(2.158)中，我們抑制了簡正坐標 $Q_{r}$ 及其正則動量的時間依賴性。如(2.142)所述，它簡單地通過以下方式給出：

（2.142）相關內容：

這意味着，根據(2.157)可以知道：

我不知道怎么根據（2.157）證(2.166)，我計算了，發現無論是根據（2.157）還是（2.160），都無法證明（2.166），所以我認為（2.157）（2.158）（2.160）（2.161）這些公式中也許有問題，但或者沒有問題，而是可能從一開始的（2.151）式共軛動量：就錯誤，而callaway書中Q的共軛動量取為（這種取法只是為了符合實驗吧，或者有其他原因，callaway書沒說）：,此式中並沒有復共軛，因為沒有復共軛，故就可以根據callaway書中產生湮滅算符表達式（1.4.13）來證明這里的（2.166）.
但是李正中書中對聲子的處理和公式和nolting書這里公式都一樣，所以nolting書應該也有正確性。
后來我查到了李正中書，在海森堡繪景，算符隨時間變化，態不變；注意量子化KG場論.md中海森堡繪景：

故在考慮（2.165）、（2.166）之前，此節的量子化過程是正則量子化（也稱等時量子化，在t=0時刻進行量子化）；現在考慮（2.165）、（2.166）就是海森堡繪景。
李正中書：

故（2.166）得證。

我們希望證明這一結果（2.166）與
一致。

（2.167）證明：法1：其實（2.167）就是海森堡繪景中算符表達式，見金老師高量講義或量子化KG場中：
故得證。
法2：我們首先證明這一斷言：

使用完全歸納法：

（這里是假設n時（2.168）成立，再推導出n+1的情況）
故（2.168）得證。
故：
將此式代入（2.167），就得到（2.166），故（2.167）和（2.166）一致。

6）聲子、聲子氣體(即無相互作用的聲子組成的氣體）

這一部分的基本結果是(2.164)。這清楚地表明晶格振動的能量是量子化的。基本量子 $ℏ ω_{r} (q)$ 被解釋為准粒子聲子的能量。具體地說，人們會聯系推廣到以下幾個方面：
$b_{q r}^{+}$ ：【一個 $(q, r)$ 聲子】的產生算符,
$b_{q r}$ : 一個 $(q, r)$ 聲子的湮滅算符,
$ℏ ω_{r} (q)$ : 【一個 $(q, r)$ 聲子】的能量.

這些推廣的證明過程見* 李正中書33-35頁

因為產生湮滅算符滿足玻色子對易關系，故聲子是玻色子！因此，每個振動狀態都可以被任意多個聲子占據。

這一節的基礎是簡諧近似，它將離子晶格建模為無相互作用的聲子氣體。在位勢V的級數展開式(2.124)中被忽略的位移 $u_{s, i}^{m}$ 中為三階或更高階的項(這些項是晶格的非諧性)，這些項可以被解釋為耦合，即聲子之間的相互作用。它們對於描述熱膨脹、熱平衡的方法、熱導率、 $c_{p}, c_{V},$ 的高溫行為等效應是很重要的。
簡諧近似下，是無相互作用聲子氣體（玻色子氣體，玻色子和玻色子之間無相互作用，此無相互作用玻色子系統（聲子氣體）中的每個玻色子（聲子）的能量為 $ℏ ω_{r} (q)$ ）的原因：

在金老師講義二次量子化中，對無相互作用玻色子系統，哈密頓量表達式就類似（2.4.22）[（2.4.22）只是多了一個零點能]（注意以上李正中書的幾個公式中 $σ$ 不是自旋，而是色散關系的支的指標 $r$ ）
，將此能量表達式對比（2.4.23）知道，無相互作用玻色子系統（聲子氣體）中的每個玻色子（聲子）的能量為 $ℏ ω_{r} (q)$ .