##nolting多體物理 第二章 多體模型系統1 晶體電子

多體物理 第二章 多體模型系統1 晶體電子

多體物理 第二章 多體模型系統1 晶體電子
2.0節 固體
1.固體
2.固體的哈密頓量：
1）電子子系統：
2）離子子系統：
3）兩個子系統的相互作用：
3. 近似求解的三部曲
2.1節 晶格電子
1.無相互作用布洛赫電子
1）電子子系統的哈密頓量
2）所有電子與所有固定在平衡位置的離子之間的相互作用勢能：
3）布洛赫定理
包括自旋時的布洛赫波函數（重要）：
4）布洛赫算符
a.定義：
b.用布洛赫算符表示無相互作用電子子系統哈密頓量：
c.布洛赫算符的對易關系
5）若忽略固體的晶體結構
6）坐標表象
a.場算符對易關系
b.坐標表象哈密頓量
7）萬尼爾表象
a.萬尼爾函數
b.萬尼爾表象的哈密頓量
c.布洛赫算符和萬尼爾算符的關系：
c.萬尼爾算符的對易關系：
d.等式
2.凝膠模型（金老師二次量子化講義中也有凝膠模型）
1）模型假設
2）模型哈密頓量
a)討論 $H_{+}$
b.討論 $H_{\mathrm{e}+}$
c.討論 $H_{\mathrm{e}}$（注意此節中得到了電子-電子庫倫相互作用 $H_{ee}$的表達式（2.55））
d.凝膠模型哈密頓量
e.凝膠模型哈密頓量的另一表達式：用電子密度算符表示；電子密度算符及其在布洛赫表象、萬尼爾表象的二次量子化表達式、傅里葉分量
3）凝膠模型的物理性質
a.Sommerfeld模型
b. 無微擾系統的基態能量（即零溫時）
c.考慮一階微擾（即交換能）和關聯能情況下，系統處於基態時，每個粒子的能量：（2.96）式
d.凝膠模型解釋金屬成鍵現象
3.Hubbard模型、緊束縛近似
1）凝膠模型的適用條件
2）緊束縛近似：注意這里的緊束縛近似根據（2.100）知，沒有考慮電子-電子相互作用
3）Hubbard模型：注意這里考慮了電子-電子庫倫相互作用
4）金老師講義中的Hubbard模型：
2.1節晶體電子 習題
1.習題2.1.3 在理論固態物理中，人們經常要處理這種類型的積分：
2.習題2.1.6：電子密度算符的物理意義
3.習題2.1.7 用場算符表示電子密度算符
3.習題 2.1.8 將凝膠模型的哈密頓量轉換為使用Wannier態作為單粒子基的二次量子化。特別注意這種加入完備性條件來計算二次量子化中前面矩陣元的方法！（很多題都是這樣算）
4.習題2.1.9 計算電子密度關聯和動力學結構因子：
5.習題2.1.11在緊束縛近似下計算體心立方和面心立方晶格結構的布洛赫能量ε(K)
2.1節 本章內容中我不會的問題：
1.
2.
3.重要：Hubbard模型從（2.114）到（2.117）這些公式我都還沒有證明，沒時間，下學期再說，nolting數也沒有寫出這些公式的推導過程。金老師講義中有一些關於這些公式的推導，但我還是有些不懂，什么是單中心、2中心、3中心等積分？單中心積分的物理意義是什么？聽課，或找其他書，比如callaway書等。不過可能以后我的方向和這個無關
4.（2.33）式后面的我自己寫的一個注意，其中我有不清楚的問題

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2.0節 固體

在這一章，我們將介紹一些經常處理的模型系統，后面我們將通過這些模型系統來說明和檢驗抽象理論的原理。我們能通過寫哈密頓量來學將一次量子化轉換成二次量子化。選取的例子都是從理論固體物理的領域得到的，它們作為這一章的開始。

1.固體

固體是一個多體系統，

它由彼此相互作用的原子或分子組成，每個“particle”由一個或多個帶正電的原子核與一個帶負電的電子雲組成。核電子和價電子之間的區別在於，核電子是緊束縛的，並靠近原子核。它們通常占據封閉電子殼層，但稀土的4f電子除外，因此對固體的特性幾乎沒有影響。而價電子相反，它占據不封閉的殼層，並且負責成鍵去組成一個固體。當然，核電子和價電子的划分並不總是清晰的。它已經代表了一個近似。在這個意義上，晶格離子指的是原子核（單數，不是復數）加上核電子組成的離子實。這導致了下面的模型：固體：由晶格離子和價電子組成的相互作用粒子系統。
對應的哈密頓量：

2.固體的哈密頓量：

1）電子子系統：

:價電子數目。第一項：動能，第二項：電子的庫倫相互作用能， ：電子的位矢。

2）離子子系統：

此時，不需要精確地說明離子-離子的相互作用。在每個情況它都是一個兩兩相互作用。它部分地解釋了“離子的平衡位置定義了嚴格的周期性晶格”這個事實。離子在這些平衡位置附近表現出振動；而且振動能量量子化。晶格振動的能量量子稱為聲子。因此，把進一步分離是有利的：

決定了比如固體的結合。決定了晶格動力學。

3）兩個子系統的相互作用：

這里，進一步分離是方便的：

：電子和處於平衡位置的離子之間的相互作用。
：電-聲相互作用。

3. 近似求解的三部曲

對整個系統（2.1）的精確求解似乎是不可能的。通過以下三個步驟進行近似：
a.電子運動，例如在剛性離子晶格中：
（考慮電子運動就是要考慮電子子系統和兩個子系統的相互作用。由於這里是電子運動，故這里不考慮離子子系統 。
先考慮電子運動，得 ；
再考慮兩個子系統的相互作用，由（2.6）知，剛性晶格不考慮晶格振動，故忽略電-聲相互作用，故只得到）。
b.離子運動，例如在均勻電子氣 （由（2.4），這里只考慮了離子子系統中的聲子，為什么？）
c.耦合，例如，的微擾論處理。

根據以上步驟，

• 2.1節中將討論電子子系統，
• 2.2節將討論離子子系統，
• 2.3節將討論電-聲相互作用，
• 2.4節討論前面沒有討論過的而在固體哈密頓量中可以存在的自旋及粒子磁矩的相互作用項。

2.1節 晶格電子

1.無相互作用布洛赫電子

這里只關注電子子系統。以下寫得不夠好，和閻守勝書有點不同，三種近似和布洛赫定理還是閻守勝書寫得最好（閻守勝書中並沒有忽略電子-電子相互作用，而是將其寫成平均場（我查了solid state 書，其也是這樣處理，solid state也沒有說單電子近似中 $v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$就是常數，只是說了周期場近似中假設 $v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$是周期的；網上也說平均場並不是說就是常數），注意平均場並不是說就是將（3.0.4）中的 $v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$看成常數， $v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$也可以是類似晶格勢一樣的勢。），必須復習北大書：

固體物理筆記本：

nolting書的邏輯是：

• 在2.1節的1.中先考慮無相互作用電子子系統（即不考慮電子-電子相互作用），
• 在2.1節的2.凝膠模型和3.Hubbard模型中考慮電子-電子庫倫相互作用(不過緊束縛近似這節還是處理的無相互作用電子子系統）

nolting書並沒有進行像北大書和solid state書一樣”將電子-電子相互相互作用取為平均場“的處理。既然現在學nolting書就按照nolting書的邏輯學一下。

1）電子子系統的哈密頓量

首先考慮在剛性離子晶格中的電子，電子之間無相互作用，但電子處於晶格周期勢場中，即電子子系統的哈密頓量：

(2.7)證：根據（2.1）、（2.6）得到。

2）所有電子與所有固定在平衡位置的離子之間的相互作用勢能：

（2.12）證：
晶格勢是由固定在平衡位置的離子定義的，它是單粒子算符。
晶格勢：位於的一個電子與所有固定在平衡位置的離子之間的相互作用勢能。

能寫成（2.8）的原因：北大書（3.0.1）、（3.0.5）式，重要。

離子位置更精確地表達為：

其中，定義了布拉維格子：

：原胞基矢。
：基元的位置矢量。
上面提到的周期性指的是：晶格勢是周期勢場，周期為晶格具有的周期。

所有電子與所有固定在平衡位置的離子之間的相互作用勢能：

3）布洛赫定理

由（2.7）、（2.2）、（2.12）知，對於無相互作用電子子系統的哈密頓量(2.7)，可以寫成 $N_e$個單電子哈密頓量之和：
（2.100）

此式可以見后面(2.100)。此式也可以根據北大書(3.0.5)知，不過注意北大書(3.0.5)中取了Z=1。

由（2.7）、（2.2）、（2.12）知，我們要解本征方程：

其中：
，其中 $\hat{V}(\hat{\mathit{r}})$是晶格勢，見（2.12）.
對於實際的格子，（2.13）的解是一個非平凡的問題。使用（2.12），得到布洛赫定理：

布洛赫定理的另一表達式：

振幅在正空間有周期性：

布洛赫函數形成了一組完備、正交歸一基矢組：

由於本征能量是離散的、是離散的，在離散譜是歸一化為1，故（2.18）右邊是克羅尼克符號。
（2.19）的求和是對第一布里淵區的波矢k求和。

(2.18)：根據量子力學中的正交歸一條件的形式確實是這樣。
(2.19)：見量子力學筆記本“動量”一章中完備性條件，形式確實這樣。
（2.18）、（2.19）的證明沒時間，證略。

包括自旋時的布洛赫波函數（重要）：

由於不包括自旋部分，故真正的本征函數能分解成自旋空間和位形空間函數：

布洛赫函數還有能帶指標n，但是這里我們限制到【在一個能帶中的】電子。

（2.20）證明：
為什么（2.20）中電子的本征態中，自旋也是 ${\hat{S}}_z$的本征態？有沒有可能自旋是 ${\hat{S}}_z$的兩個本征態的疊加態（即一般態）？
答：不可能。根據為知自旋波函數、角動量理論中自旋態的旋轉.md中，

cohen書：

曾書：


其中，

故，對於多體物理這里，哈密頓量不含自旋變量，則哈密頓量的本征態可以分離變量，也即本征態可以寫成cohen書中（C-16）的張量積形式，旋量波函數可以表示成（C-18）的形式。根據為知自旋波函數、角動量理論中自旋態的旋轉.md中cohen書66頁中泡利理論的4個假定中的第二個假定：

可以知道，任何一個自旋態都可以用 ${\hat{S}}^2、{\hat{S}}_z$的共同本征態展開。類比：



可以知道，對這里多體物理書的情況，取 $（H，S_z）$為力學量完全集，總的態空間是軌道態空間和自旋態空間的張量積，根據（C-2）知道，總的態可以用兩個子態空間的基矢張量積構成： $|\psi ⟩=|{\psi }_k(\mathit{r})⟩\otimes |\epsilon ⟩$，其中 $|{\psi }_k(\mathit{r})⟩$是軌道態空間的本征矢， $|\epsilon ⟩$是自旋態空間的本征矢，即 $|\epsilon ⟩$是 ${\hat{S}}^2、{\hat{S}}_z$的共同本征矢，根據（C-17）、（C-18）知道， $|+⟩=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right);|-⟩=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$（這樣寫稍微有點不嚴謹，還是說根據（C-18)直接得到（2.20）更嚴謹）且（2.20）得證。

4）布洛赫算符

a.定義：

一個布洛赫電子的產生湮滅算符。

產生湮滅算符有的原因：產生湮滅算符是產生湮滅單粒子態，由（2.20）知，確實產生湮滅算符應有自旋指標。

b.用布洛赫算符表示無相互作用電子子系統哈密頓量：

（2.22）證明：

（2.22.1）
矩陣元能直接計算：

【（2.12）划線的地方是根據（2.18）、關於自旋波函數的歸一化可以直接從自旋波函數證，簡單。】
故得到（2.22），得證。

c.布洛赫算符的對易關系

布洛赫算符當然滿足第一章中的對易關系：

雖然多了一個自旋指標，但是應該類似第一章這些對易關系的證明能證明以上公式，證略。

5）若忽略固體的晶體結構

如果我們忽略固體的晶體結構，而把離子晶格僅僅看作是電子系統的帶正電荷的背景，即晶格勢不是周期的（2.11），而是常數。此時解薛定諤方程（2.13）得：（量子自由電子論筆記）
布洛赫函數變成平面波：

布洛赫能量（即（2.13）對應的本征能量）變成：

是固體體積，注意區分體積和晶格勢.

6）坐標表象

我們將討論的兩個其他的表象，它們在應用上很重要，比如：
場算符：
它們和第一章的定義一致，滿足（1.63）至（1.69）式，只是增加了自旋。

因為場算符也是產生湮滅算符，從前面的分析知，這里也應加自旋指標。

a.場算符對易關系

可以通過類似第一章的證明推廣第一章的公式，比如

b.坐標表象哈密頓量

類似（1.51）和（1.100）得：

證明：

這個證明不嚴謹，有問題
問學姐多體物理看什么書比較好？

這個問題暫時就先不嚴謹吧，先跳過，等以后學多體物理課的時候再看negele的書的嚴謹的二次量子化
這本書數學不嚴謹，別人也是這樣說。以后我一定看negle的書，不看nolting的書 或者看negle書里場算符的部分，現在沒時間，暫時就這樣
nolting的書有的地方推導不嚴謹，或者不說清楚提示內容，或者不提示怎么推導，或者寫得看不懂。從此現在6.12號之后不再看nolting的書。
量子多體要學幾遍，看幾本書，所以nolting的書可以當參考，但也應主要看negele書

7）萬尼爾表象

（萬尼爾函數這里沒寫清楚，北大書也沒寫清楚，李正中的固體理論中也沒完全寫清楚，所以查其他書和網上固體理論課。）

a.萬尼爾函數

另外，一個經常用的特殊位形表象利用了萬尼爾函數：
，其中 ${\psi }_{k\sigma }(\mathit{r})$是布洛赫波函數.
這些函數典型的特點是它們相對強地聚集在每個格點位置附近（圖2.1）。利用（2.18）和（2.30）

能容易地證明正交關系：

（2.30）怎么證明？ 見李正中書第7頁，群論的方法證明。或見為知“傅里葉級數、積分”

b.萬尼爾表象的哈密頓量

在二次量子化中，由（1.100）得到為：

物理意義：直接清楚地表示了具有自旋的一個電子從格點（它在此湮滅）跳躍到格點（它在此產生），因此稱為“跳躍”積分。
【我自己寫的注意1：根據（2.33）的推導過程知道，並沒有要求 $i\ne j$，故此物理意義中， $i=j$的項好像就不能說是“跳躍”？，但它也不是勢能項？（注意與sunkai緊束縛講義（5.1）區分開，原因見SSH模型、sunkai緊束縛模型、固體理論課一維鏈中哈密頓量的來源.md），它應該僅僅是類似后面Hubbard模型中的單中心積分，其物理意義我也不知道。
我自己寫的注意2：根據SSH模型、sunkai緊束縛模型、固體理論課一維鏈中哈密頓量的來源、跳躍項.md中的3.知道，（2.33）和sunkai（5.1）、simons和劉海文課中的哈密頓量表達式沒有關系！！！注意區分！】
其中：

注意：（2.36）中是對第一布里淵區的k求和，因為由（2.33）、（2.36）的證明過程中的（2.34）知，（2.36）中的求和號是來源於完備性條件，而根據（2.19）、（2.20）類似知，完備性條件是對第一布里淵區k求和，故（2.36）中是對第一布里淵區的k求和。
注意：根據（2.3）知，Ni是離子實的數目。
逆關系式為：

根據（2.33）的證明過程知道， $\epsilon (\mathit{k})$是布洛赫能量，它是單粒子能量。

（2.33）、（2.36）證明：

其中

得證。
（2.37）證明：（2.37）從這里的證明過程來看應該沒有書中1/N這個系數。

c.布洛赫算符和萬尼爾算符的關系：

湮滅算符：

產生算符：注意不能直接在（2.38）和（2.39）中加一個加號得到。因為應該根據(1.68)、（1.69）來得到產生算符的關系式，e指數上與前面湮滅算符的相比差一個負號。

nolting書說可以通過類似（1.66）至（1.69）中場算符和產生湮滅算符的證明來證明得到.
但是具體證明過程見李正中書319頁（我未推導，以后一定要自己推導），李正中書說：以上

c.萬尼爾算符的對易關系：

證：From the commutation relations for the Bloch operators (2.23) and (2.24), the commutation relations for the Wannier operators then follow immediately. 得證。

d.等式

$$\begin{array}{}\text{(2.391)}& \underset{i}{\sum }{a}_{{\mathbf{r}}_i}^{+}{b}_{{\mathbf{r}}_i+\mathbf{e}}=\underset{\mathbf{k}}{\sum }{a}_{\mathbf{k}}^{+}{b}_{\mathbf{k}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{e}}\end{array}$$

特別地，當 $\mathbf{e}=0$時，

$$\begin{array}{}\text{(2.392)}& \underset{i}{\sum }{a}_{{\mathbf{r}}_i}^{+}{b}_{{\mathbf{r}}_i}=\underset{\mathbf{k}}{\sum }{a}_{\mathbf{k}}^{+}{b}_{\mathbf{k}}\end{array}$$

（2.391）和（2.392）式是一個規律，以后直接用。
若b寫成a時，(2.391)也是成立的。

證明：此式來自sunkai講義拓撲絕緣體第五章（5.125）。

2.凝膠模型（金老師二次量子化講義中也有凝膠模型）

1）模型假設

該模型足以描述簡單金屬，並基於以下假設：
1.在體積 $V=L^3$中的個電子通過庫倫相互作用彼此相互作用：

特別注意，在2.1節的1.的標題是無相互作用布洛赫電子，即前一節1.考慮的是不考慮電子-電子庫倫相互作用的情況。而這里開始2.凝膠模型、3.Hubbard模型考慮了電子-電子相互作用。

此相互作用能（2.42）的原因見固體物理筆記本“離子晶體”一節。注意先i固定再對所有j求和，再對所有i求和，這樣會重復計算，故(2.42)中除了一個1/2.

2.離子只帶正電荷：

（2.2）已經說了 $N_e$是價電子數目，故（2.43）說明假設每個離子只有一個價電子。

3.離子形成均勻分布的背景，從而保證(a)電中性，(b)恆定的晶格勢（即晶格勢為常數）。此時，根據（2.52），布洛赫函數變成平面波：

4.V的周期性邊界條件產生離散波數k：

見量子自由電子論筆記

2）模型哈密頓量

模型的哈密頓量是如何對應於一次量子化中所表述的這些假設的？它應該包含三項：

$H_e$被解釋為(2.2)中的項，是關鍵項。

a)討論 $H_{+}$

$H_{+}$描述均勻分布的離子電荷，其中均勻分布意味着離子密度n(r)與位置無關：

則

由於第四個假設（采用周期性邊界條件，說明不考慮邊界效應，邊界很小），我們必須在熱力學極限下討論我們的結果，即N→∞，V→∞，N/V→常數。由於庫侖力的范圍很大，積分就會發散。為此，引入了收斂因子 ${\mathrm{e}}^{-\alpha |\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\mathrm{\prime }}|}$，其中α>0。在計算積分后，取極限α→0。

引入此收斂因子的方法是否會有影響？不會吧，金老師二次量子化講義中說，本來積不了，這是一個trick，其實是將相互作用看成湯川勢，令 $\alpha =0$回到庫侖勢

由於(2.47)，我們需要(2.48)中的以下積分：

則 $H_{+}$：
對於α→0， $H_{+}$確實是發散的，但它被尚待討論的其他項所補償。

b.討論 $H_{\mathrm{e}+}$

(2.46)中的 $H_{\mathrm{e}+}$描述了電子與離子均勻背景的相互作用：

積分號是與離子均勻背景有關，求和號是與電子有關。因為沒有重復計數，故不用除1/2.

考慮到與 $H_{+}$相同的因素，我們發現：

現在，我們用粒子數算符 $\hat{N}$替換經典的粒子數N；這得到：

綜上，凝膠模型的哈密頓量：

c.討論 $H_{\mathrm{e}}$（注意此節中得到了電子-電子庫倫相互作用 $H_{ee}$的表達式（2.55））

（2.52）對於α→0看起來仍然是發散的，但正如我們將看到的， $H_{\mathrm{e}}$包含一個完全對應的項，它與(2.52)中的第二個項相消。 $H_{\mathrm{e}}$實際上是決定性的算符，根據(2.2)，它由動能 $H_0$(2.7)和庫侖相互作用 $H_{ee}$(2.42)組成。 $H_0$在上一節中已經轉換為二次量子化（2.22） $H_0=\underset{k\sigma }{\sum }\epsilon (k)a_{k\sigma }^{+}{a}_{k\sigma }=\underset{k\sigma }{\sum }\epsilon (k)n_{k\sigma }$。電子-電子庫倫相互作用 $H_{ee}$是一個典型的兩體算符，根據(1.100)，我們在布洛赫表象中發現：

根據（2.2）知道：=.
根據（1.100）

其中
故（2.53）成立。

（2.53）中：

（2.54）證明:根據金老師講義：
和（1.100）知道：
只有在時才是非零的，原因：注意算二次量子化前面系數矩陣元的方法：加入完備性條件
（2.541）
nolting書說：利用布洛赫定理(2.15)，我們可以進一步證明： ${\mathit{k}}_1+{\mathit{k}}_2={\mathit{k}}_3+{\mathit{k}}_4$必須成立。
但我覺得nolting這個結論可能有問題，因為：

故我覺得也許有問題，？以后問。我覺得還有一個問題是：但是在考慮了電子-電子庫倫相互作用后，布洛赫定理就不成立了[ 因為布洛赫定理前提是無相互作用電子（見(2.14)）或用平均場表示電子-電子相互作用的情況（見北大固體物理書65頁）]，但是雖然布洛赫定理不成立，但好像還是可以有布洛赫表象。也許在電子-電子相互作用較小可以看作微擾的情況，布洛赫定理近似仍成立？不知道

${\mathit{k}}_1+{\mathit{k}}_2={\mathit{k}}_3+{\mathit{k}}_4$成立時，（2.54）得證。

故電子-電子庫倫相互作用 $H_{ee}$的表達式(2.53)變為：

其中矩陣元見（2.54）.

（2.55）在金老師高量Hubbard模型中是從場算符來證明的，和這里方法不同。

在凝膠模型中， ${\psi }_k$是平面波，因此我們可以計算得到：

（2.59）證明：
因為
故
再設，則：

利用,即得到（2.59)

故根據（2.55）和（2.59）， $H_{\mathrm{e}\mathrm{e}}^{(\alpha )}$的表達式（上標 $\alpha$是說明此表達式與參量 $\alpha$有關）：

考慮（2.60）的q=0的項：

（注意，對費米子，即使是兩個湮滅算符交換也會有一個負號）

我們可以看到，(2.62)中的第二項正好補償了(2.52)中的第二項，即總哈密頓量（2.52）中H+和He+的貢獻沒了。(2.62)中的第一項導致每個粒子的能量在熱力學極限中消失，

因此可以從一開始就省略掉。
綜上，（2.52）凝膠模型哈密頓量 $H$中只剩下（2.60） $H_{ee}$中 $q\ne 0$的項和（2.22） $H_0$.

d.凝膠模型哈密頓量

因為現在(2.61)中 $q\ne 0$，故若我們現在最終取極限α→0，我們發現
凝膠模型哈密頓量：

其中，從(2.26)，我們有

作為動能的矩陣元；並且

作為庫侖相互作用的矩陣元。
注意，（2.63）凝膠模型哈密頓量 $H$中只剩下（2.60） $H_{ee}$中 $q\ne 0$的項和（2.22） $H_0$.

金老師講義中凝膠模型哈密頓量的表達式比這里（2.63）的（2.65)中多了一個 $4\pi$，不知道哪個對

e.凝膠模型哈密頓量的另一表達式：用電子密度算符表示；電子密度算符及其在布洛赫表象、萬尼爾表象的二次量子化表達式、傅里葉分量

電子密度算符：

這是一個單體算符。電子的位置 ${\hat{\mathit{r}}}_{\mathrm{i}}$在這里是一個算符，而變量 $\mathit{r}$自然不是。

為什么 ${\hat{\mathit{r}}}_{\mathrm{i}}$在這里是一個算符，而變量 $\mathit{r}$不是？原因見習題2.1.6。

此構造的電子密度算符（2.66）的物理意義：此電子密度算符 $\hat{\rho }$對全空間積分會得到粒子數算符 $\hat{N}$.

證見習題2.1.6

從(1.100)中，我們發現電子密度算符 $\hat{\rho }$在布洛赫表象的二次量子化表達式：

證明：
對於矩陣元，我們需要計算以下內容：

若考慮凝膠模型，布洛赫波函數是平面波，則：
,代入(2.67)即得到（2.69）

電子密度算符在萬尼爾表象的二次量子化表達式見習題。
我們由（2.69）可以得出電子密度算符的傅里葉分量：

${\hat{\rho }}_{\mathit{q}}$滿足：

（2.70）證明：根據求和化為積分：


可以知道，

（2.71）證明：

有了這個結果，我們就可以用密度算符來表示凝膠模型的哈密頓量：

（2.72）證明：動能不變，而：
代入（2.70）、（2.71），注意 $\underset{k\sigma }{\sum }{a}_{k+q\sigma }^{+}{a}_{k\sigma }={\hat{\rho }}_{\mathbf{-}\mathit{q}}$、 $\underset{p,{\sigma }^{\mathrm{\prime }}}{\sum }{a}_{p-q{\sigma }^{\mathrm{\prime }}}^{+}{a}_{p\sigma }={\hat{\rho }}_{\mathit{q}}$，
，故(2.72)得證。

3）凝膠模型的物理性質

為了對該模型的物理性質有一定的了解，我們現在研究凝膠模型的基態能量。為此，我們利用了一階微擾理論，根據變分原理，它在任何情況下都會給出基態能量的上限。我們將電子-電子的庫侖相互作用 $H_{ee}$看作是一個微擾，因此未受微擾的系統由下式給出：
$\begin{array}{}\text{(2.73)}& H_0=\underset{\mathit{k}\sigma }{\sum }{\epsilon }_0(\mathit{k})a_{\mathit{k}\sigma }^{+}{a}_{\mathit{k}\sigma }\end{array}$

a.Sommerfeld模型

對未受微擾的系統（根據（2.73）知道，此時凝膠模型哈密頓量中只有電子動能），其哈密頓量（2.73）可以精確地解決。在處於“未微擾”的基態 $|{\mathit{E}}_{\mathbf{0}}⟩$時（基態其實就是零溫時），N個電子占據能量不大於極限能量 ${\epsilon }_F$的所有態（根據熱統筆記本中金屬自由電子氣一節可以知道），該極限能量被稱為費米能：

$k_F$：費米波矢，它可以容易地計算如下：由於各向同性能量色散

在半徑為 $k_F$的球體內，電子占據了k空間中的所有態。因為k點在k空間中是離散的，這是由於周期邊界條件(參見(2.45))，每個k點對應的k空間體積：（2.76）（注意 $\mathrm{\Delta }k$是體積，不是間隔），如果我們現在考慮自旋簡並度，我們發現電子數N和費米波矢 $k_F$之間的關系如下：

可以得到費米波矢：
（2.77）
費米能:

每個粒子的平均能量 $\bar{\epsilon }$：

根據量子自由電子論筆記，這里計算的無微擾的系統其實就是量子自由電子氣體（自由說明沒有相互作用），而這里計算的這些物理量其實是零溫的物理量，因為非零溫時會有熱激發等，而這里沒有考慮。

b. 無微擾系統的基態能量（即零溫時）

基態能量：

我們引入一些標准縮寫：
$n_{\mathrm{e}}=\frac{N}{V}$：平均電子密度             （2.81）
$v_{\mathrm{e}}=\frac{1}{n_{\mathrm{e}}}$：每個電子的平均體積             （2.82）
$v_{\mathrm{e}}$可以根據（2.83）決定：

其中 $r_s$為無量綱的密度參數，而玻爾半徑：

玻爾半徑的這個公式不是從這一節來的，而是從其他地方來的，好像量子力學氫原子這一節中有這個公式。

若我們以類似的方式引入一個能量參數，

則費米能可以寫成：

（2.86）證明：

無微擾系統的基態能量（零溫）：

c.考慮一階微擾（即交換能）和關聯能情況下，系統處於基態時，每個粒子的能量：（2.96）式

現在我們引入微擾 $H_{\mathrm{e}\mathrm{e}}$，將能量修正計算到一階：
（這是加入微擾后，對基態的一階能量修正）

見量子力學筆記本非簡並微擾論，這是一階非簡並微擾能量修正 $H{}_{nn}^{\prime }$。系統基態 $|E_0⟩$是非簡並嗎？是吧，每個電子都逐漸填，直到費米能級。根據量子自由電子論筆記中：
知道，在費米能級處，電子占據概率為1/2.(即費米能級里簡並的各個態上有粒子的平均概率為1/2)

只有湮滅算符作用於【費米球體內的狀態的那些項】才起作用，隨后，產生算符填充費米球體內產生的空穴：
(1) 直接項：即湮滅算符 $a_{k\sigma }$湮滅波矢為 $\mathbf{k}$的一個電子，產生算符 $a_{k+q}^{+}$產生波矢為 $\mathbf{k}$的一個電子，這樣有：

但是（2.88）中有條件，故舍去此情況。
（2）交換項：

這是一個典型的量子力學術語，在經典意義上是無法理解的。它源於N粒子態的反對稱原理：

由於在無微擾的基態 $|E_0⟩$中，費米球內的所有態都被占據，而費米球外的所有態都未被占據，因此它是這樣的：

其中，$\theta \left ( x \right )= \left{

$$\begin{array}{cc}1& x>0\\ 0& x<0\end{array}$$

\right.$
（2.92）證明：
根據（2.91）和 ，得證。

在熱力學極限中，我們可以用積分代替和：

在對自旋進行求和且代入（2.65） $v_0(\mathit{q})=\frac{1}{V}\frac{e^2}{{\epsilon }_0{q}^2}$之后，我們仍然需要計算：

可以先不考慮自旋，再考慮加上自旋，根據(2.91),就知道此式確實成立.

令 $x=k+\frac{1}{2}q$，得：


(圖2.2 在微擾理論中計算一階凝膠模型基態能量的積分域的示意圖，見(2.93)）

（2.94）這種包含 $\theta$函數的積分是用數形結合的方法來計算的！圖2.2的右邊圖中 volume of this spherical segment=（2.94）中的S

對於圖2.2中繪制的球形區域，我們顯然需要計算：

注意有一個前提條件： $k_F>\frac{q}{2}$，若不滿足此前提條件，則圖2.2中將沒有公共區域，也可以根據（2.94）知道S=0.

積分可以很容易地進行：

因此，將其代入（2.93）得到，一階修正：

這最終得到系統處於基態時，每個粒子的能量(圖2.3)：


圖2.3 凝膠模型中，系統基態時每個粒子的能量作為密度參數 $r_s$的函數

注意 $r_s$：

（2.96）中第一項是動能(2.87)，（2.96）中第二項代表所謂的交換能。后者是典型的全同粒子系統，是不可分辨原理（全同性原理）的直接結果，因此也是費米子的泡利原理（因為全同性原理可以推導出泡利不相容原理，見量子力學筆記本）的直接結果。它保證了自旋平行的電子不會靠得太近。使相同電荷的粒子保持一定距離的每一種效應都會導致它們的基態能量降低。這就是(2.96)中負號的原因。

1.在前面計算能量的一階修正(2.88)過程中用了全同性原理，比如微擾 $H_{ee}$的表達式見（2.63），這種二次量子化表達式就是用了費米子的全同性原理才得到、再比如(2.91)的第二個等號就是用了費米子產生湮滅算符的對易關系才得到的。故（2.96）中第二項確實是全同性原理（也即費米子的泡利不相容原理，因為全同性原理可以推導出泡利不相容原理，見量子力學筆記本）的結果，故也稱此項為交換能（因為全同性原理是交換交換兩個全同粒子不改變體系的狀態）.
2."它保證了自旋平行的電子不會靠得太近。"這句話不知道為什么
3.“使相同電荷的粒子保持一定距離的每一種效應都會導致它們的基態能量降低。”，此多體物理書沒有證明這個結論，所以不是很理解

（2.96）中第三項 ${\epsilon }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}}$稱為關聯能。它給出了微擾理論能量與確切結果的偏差，因此自然是未知的。多體理論的現代方法給出了關聯能的以下級數表達式(見(5.177))：

d.凝膠模型解釋金屬成鍵現象

此節的簡單的凝膠模型其實已經給出了有用的結果，例如 $\epsilon -{\epsilon }_{\text{corr }}$在 $r_0={\left(r_S\right)}_{min}=4.83$取得最小值，能量最小值為： ${(\epsilon -{\epsilon }_{\text{corr }})}_{min}=-0.095[\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{d}]=-1.29[\mathrm{e}\mathrm{V}]$
這表明了電子密度的最佳值，它最終對應於能量上最有利的離子間距，從而至少定性地解釋了金屬成鍵現象。

3.Hubbard模型、緊束縛近似

1）凝膠模型的適用條件

凝膠模型所實現的決定性簡化包括：它僅將固體中的離子視為帶正電的均勻分布的背景，即完全忽略了晶體結構。然后布洛赫函數變成平面波(2.44)，因此在這個模型的框架內，電子在整個晶體中具有恆定的占據幾率（根據波函數的玻恩統計詮釋）。因此，凝膠模型從一開始就局限於寬能帶的電子，例如鹼金屬的傳導電子，這些假設對於鹼金屬來說是有效的。

為什么凝膠模型是局限於寬能帶？
我認為，在北大固體物理96頁半經典模型中說了寬能帶和窄能帶的區別：

這里說，對於寬的能帶，能量隨波矢 $\mathit{k}$ 的變化較劇烈，而根據北大固體物理半經典模型中（4.1.2）電子平均速度： ${\mathit{v}}_n(\mathit{k})=\frac{1}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}_k{\epsilon }_n(\mathit{k})$知道，電子速度大，遷移率高，故說明寬能帶的電子應該是能在晶體中跑得快，比如鹼金屬的價電子、外層電子（而不是內層電子），而凝膠模型中，電子波函數取平面波，電子可以在整個晶體中有恆定的占據概率，即可以在整個晶體跑。故知道，凝膠模型局限於寬能帶的電子。

2）緊束縛近似：注意這里的緊束縛近似根據（2.100）知，沒有考慮電子-電子相互作用

窄能帶中的電子遷移率相對較低，在單個晶格離子位置的占據幾率有明顯的極大值。平面波自然不適合用來描述這種能帶電子（因為平面波對應的是整個晶體中都有恆定的占據幾率）。一個相當好的起點是所謂的緊束縛近似。
如果我們假設有很強的晶格勢 $\hat{V}(\mathit{r})$和低的能帶電子遷移率，那么在晶格離子附近，原子的哈密頓量：

它是單個原子的哈密頓量之和，應該能給出一個相當合理的描述，即（2.98）應該非常類似於(2.7)中的 $H_0$：

${\phi }_n$是一個原子波函數，我們可以認為它是已知的。指標n表示一組量子數。我們感興趣的情況是，當函數 ${\phi }_n$集中在不同位置 ${\mathit{R}}_{\mathrm{i}},{\mathit{R}}_j$時，它們只有有限的重疊。這導致電子從原子到原子的低隧穿幾率，因此只有固體中原子能級的微弱分裂-即一個狹窄的能帶。
對於無相互作用電子子系統的哈密頓量(2.7)，可以寫成 $N_e$個單電子哈密頓量之和：
（2.100）
$H_0$就是忽略電子-電子相互作用(nolting書是這樣說）或用平均場代替電子-電子相互作用（北大固體物理66頁是這樣說）時電子子系統的哈密頓量。

(2.100)成立的原因：北大書66頁（3.0.5）式.
此式(2.100)也可以根據：

我們使用以下方法：

因此，修正 $V_1(\mathit{r})$在晶格離子附近應該很小，但相反，在中間區域相對較大，然而 ${\phi }_n$已經降到幾乎為零。

原因見北大書：

其中
中的實線就是這里說的 $V_1$

從(2.13)知道，我們實際上必須解決以下問題：

這個特征值問題的完整解似乎非常復雜。因此，我們對布洛赫函數 ${\psi }_{nk}(\mathit{r})$使用以下嘗試函數：

見為知傅里葉級數和積分、 $\delta$函數傅里葉變換、特殊函數等在固體理論中的應用.md

這個解（2.103）符合布洛赫定理(2.15)；

並且（2.103）在離子核( $V_1(\mathit{r})\approx 0$)附近幾乎是精確的，而原子間區的誤差不太大，因為那里的波函數重疊很小。與(2.29)比較可以知道，我們用原子波函數代替了精確的Wannier函數。使用(2.102)，我們現在近似計算布洛赫能量 ${\epsilon }_n(\mathit{k})$。以下表達式嚴格有效：

這里，我們現在應用解(2.103)。使用縮寫：

我們獲得：

其中我們已經假設原子波函數是歸一化的。然后我們發現布洛赫能量：

The overlap integrals ${\gamma }_n^{(j)}$ and ${\alpha }_n^{(j)}$ are by assumption for ${\mathit{R}}_j\ne 0$ only very small quantities, so that we can with confidence simplify further:布洛赫能量：

$\mathrm{\Delta }$表示與坐標系原點上的原子最近的鄰居。一般來說，總和可以很容易地計算出來。因此，對於簡立方晶格：

a是晶格常數， $T_0^{(n)}$ and ${\gamma }_n^{(1)}$是必須通過實驗測定的參數。 ${\gamma }_n^{(1)}$由能帶的寬度W確定：

不知道為什么？有時間再查solid state書或自己可以推導出來。在#固體物理復習 以后復習固體物理就根據此筆記.md中有：

嚴格地說，導致(2.109)的緊束縛近似只允許用於所謂的s帶。對於p-，d-，f-..這些能帶，必須考慮到一定程度的簡並性，但我們在這里不再進一步討論這一點。

在#固體物理復習 以后復習固體物理就根據此筆記.md中有：

在下面，我們將我們的處理限制在s帶，因此從這里起不再使用指標n。
布洛赫能(2.109)或(2.110)現在清楚地顯示出晶體結構的影響。僅對於在能帶底附近的非常小的 $|\mathbf{k}|$值，會有拋物線型色散關系（這種拋物線型色散關系在凝膠模型中適用）近似成立， $\epsilon (\mathit{k})\Rightarrow {\epsilon }_0(\mathit{k})/{\hslash }^2{k}^2/2m$.

3）Hubbard模型：注意這里考慮了電子-電子庫倫相互作用

在二次量子化中，（2.100）的 $H_0$采用與(2.33)中相同的形式：

根據（2.100）知道，H0是單體算符，故根據二次量子化得到（2.112）

緊束縛近似允許通過跳躍積分且僅在最近鄰晶格位置之間進行電子躍遷：

對於能帶電子的庫侖相互作用（電子-電子庫倫相互作用），(2.55)當然仍然適用。

仍然適用的原因見（2.55）的推導過程. 但是在考慮了電子-電子庫倫相互作用后，布洛赫定理就不成立了[ 因為布洛赫定理前提是無相互作用電子（見(2.14)）或用平均場表示電子-電子相互作用的情況（見北大固體物理書65頁）]，但是雖然布洛赫定理不成立，但好像還是可以有布洛赫表象。也許在電子-電子相互作用較小可以看作微擾的情況，布洛赫定理近似仍成立？不知道，強關聯問題更加復雜，誒

然后，向實空間進行變換，得到：

其中用原子波函數計算矩陣元：

（2.114）、（2.115）證明：怎么證？利用布洛赫表象和萬尼爾表象產生湮滅算符之間的關系進行證明？沒時間

由於以不同晶格位置為中心的原子波函數重疊較小，原子內部(intra-atomic)的矩陣元占主導：

為什么有原子內部的矩陣元？i、j不是格點嗎？金老師高量講義中說，這是只考慮單中心積分的貢獻的近似，但什么是單中心積分？可能單中心積分指的就是（2.115）中 $i=j=k=l=i$，並沒有其他含義，在（2.115）式中並沒有說不允許 $i、j、k、l$相等（確實，從跳躍積分的公式（2.33）的證明過程知道，（2.33）並沒有要求 $i\ne j$）

因此，哈伯德建議將電子-電子相互作用限制在這項（2.116），故：
Hubbard模型：

(符號： $\sigma =\uparrow (\downarrow )⟺-\sigma =\downarrow (\uparrow )$)。

（2.117）證明：金老師講義中有一部分推導，但我還是有些不懂，什么是單中心、2中心、3中心4中心積分？聽課，或找其他書。

因此，Hubbard模型一定是研究動能、庫侖相互作用、泡利原理和晶格結構這些東西interplay(相互作用)的最簡單模型。
當然，導致(2.117)的劇烈簡化也相應地限制了該模型的適用性。

• 該模型用於討論
  1.窄能帶固體(如過渡金屬)的電學性質，
  2.能帶磁性(Fe，Co，Ni等)，
  3.金屬-絕緣體相變(“Mott相變”)，
  4.統計力學一般原理，
  5.高溫超導。

盡管哈伯德模型結構簡單，但到目前為止還沒有得到它的精確解。人們仍然必須求助於近似解。以下各節將討論示例。

4）金老師講義中的Hubbard模型：

高量二次量子化中Hubbard模型1、

2.1節晶體電子 習題

1.習題2.1.3 在理論固態物理中，人們經常要處理這種類型的積分：

Sommerfeld expansion

2.習題2.1.6：電子密度算符的物理意義

1.對電子密度算符進行變換為以Wannier態為單粒子基的二次量子化：

2.利用1的結果推導出電子數與電子密度算符之間的關系。
3.在凝膠模型的特殊情況下，第1部分中的電子密度算符采用什么形式？

特別注意這種加入完備性條件來計算二次量子化中前面矩陣元的方法！（很多題都是這樣算）


特別注意，這就是電子密度算符的物理意義：此電子密度算符對全空間積分會得到粒子數算符！

因為萬尼爾函數的正交歸一公式（2.31）可能是對全空間積分，而不是對晶體體積積分？因為（2.31）是從布洛赫波函數的正交歸一公式（2.18）推導出來的，而布洛赫波函數（2.16）中，平面波是全空間都有的，而振幅在正空間有周期性， $\mathbf{k}$的取值的推導根據北大書（3.1.19）知道是用了周期性邊界條件。而布洛赫波函數的推導過程（見北大書（3.1.10））中用了平移算符等，就是對晶體用了周期性邊界條件，不考慮晶體邊界，故我認為，從數學嚴謹來看，（2.31）是對全空間積分，而不是對晶體體積積分。不過不知道我這個結論是否對

3.習題2.1.7 用場算符表示電子密度算符

Exercise 2.1.7 Represent the operator for the electron density

$$\hat{\rho }=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\delta (\mathit{r}-{\hat{\mathit{r}}}_{\mathrm{i}})$$

in the formalism of second quantisation using field operators.

3.習題 2.1.8 將凝膠模型的哈密頓量轉換為使用Wannier態作為單粒子基的二次量子化。特別注意這種加入完備性條件來計算二次量子化中前面矩陣元的方法！（很多題都是這樣算）

特別注意這種加入完備性條件來計算二次量子化中前面矩陣元的方法！

哈密頓量：

凝膠模型：

4.習題2.1.9 計算電子密度關聯和動力學結構因子：

5.習題2.1.11在緊束縛近似下計算體心立方和面心立方晶格結構的布洛赫能量ε(K)

2.1節 本章內容中我不會的問題：

1.

（2.54）的證明過程注釋中，為什么 ${\mathit{k}}_1+{\mathit{k}}_2={\mathit{k}}_3+{\mathit{k}}_4$ 必須成立？也許在(2.541)中代入平面波表達式而不是用布洛赫定理，從而可以證明，但是積分很難算，我沒算，沒有去證明。

2.

（2.96）式后面一段話：“(2.96) 中第一項是動能(2.87),(2.96) 中第二項代 表所謂的交換能。后者是典型的全同粒子系統, 是不可分辨原理（全同性原理) 的直接結果, 因此也是費 米子的泡利原理（因為全同性原理可以推導出泡利不 相容原理, 見量子力學筆記本 ) 的直接結果。它保證 了自旋平行的電子不會靠得太近。使相同電荷的粒子保持一定距離的每一種效應都會導致它們的基態能量降低。這就是(2.96)中負號的原因。”不是很理解，見其注釋

3.重要：Hubbard模型從（2.114）到（2.117）這些公式我都還沒有證明，沒時間，下學期再說，nolting數也沒有寫出這些公式的推導過程。金老師講義中有一些關於這些公式的推導，但我還是有些不懂，什么是單中心、2中心、3中心等積分？單中心積分的物理意義是什么？聽課，或找其他書，比如callaway書等。不過可能以后我的方向和這個無關

4.（2.33）式后面的我自己寫的一個注意，其中我有不清楚的問題

來自為知筆記(Wiz)

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