第二章典型例題
[齊次解法解沖激響應] (連續系統)
例一
已知某線性時不變系統的微分方程為\(r^{''}(t)+5r^{'}(t)+6r(t)=3e^{'}(t)+2e(t)\),求該系統的沖激響應\(h(t)\).
解:特征根為\(-2\)和\(-3\),可得
\[\hat{h}(t)=C_1e^{-2t}+C_2e^{-3t} \]
由於在使用齊次解法求沖激響應時,只有\(\hat{h}^{(n-1)}(0_+)=\frac{1}{C_0}\)(其中\(C_0\)為微分方程中\(r^n(t)\)的系數),其余各階導數均為\(0\),所以有
\[\begin{cases} \hat{h}(0_+)=0\notag\\ \hat{h}^{'}(0_+)=1\notag \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_1=1\notag\\ C_2=-1\notag \end{cases} \]
即
\[\hat{h}(t)=(e^{-2t}-e^{-3t})u(t) \]
再根據微分方程右式的形式,有
\[\begin{align} h(t)&=3\hat{h}^{'}(t)+2\hat{h}(t)\notag\\ &=(7e^{-3t}-4e^{-2t})u(t)\notag \end{align} \]
值得注意的是,在求解過程中,要把\(u(t)\)當作一個函數看待,求導時要根據求導法則對其同等處理.
例二
已知某線性時不變系統的微分方程為\(r^{'}(t)+2r(t)=e^{''}(t)+3e^{'}(t)+3e(t)\),求該系統得沖激響應.
解:易知特征根為
\[r=-2 \]
所以有
\[\hat{h}(t)=Ae^{-2t}\tag{*} \]
又因為
\[\hat{h}(0_+)=1 \]
將該條件帶入\((*)\)式,可得
\[\hat{h}(t)=e^{-2t}u(t) \]
再根據微分方程右式得形式,可得
\[\begin{align} h(t)&=\hat{h}^{''}(t)+3\hat{h}^{'}(t)+3\hat{h}(t)\notag\\ &=[4e^{-2t}u(t)-2\delta(t)+\delta^{'}(t)]+3[-2e^{-2t}u(t)+\delta(t)]+3[e^{-2t}u(t)]\notag\\ &=e^{-2t}+\delta(t)+\delta^{'}(t)\notag \end{align} \]
[全響應]
例三
已知某線性時不變系統的微分方程為\(r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=2e^{'}(t)+6e(t)\),激勵\(e(t)=u(t)\),初始狀態\(r(0_-)=2\),\(r^{'}(0_-)=0\)求該系統的全響應,零輸入響應,零狀態響應.
解:根據題意,微分方程可寫為
\[r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=2\delta(t)+6u(t) \]
易知特征根為
\[r=-1\text{ or }-2 \]
齊次解為
\[r(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t} \]
又因為在\(t>0\)時,方程可寫為
\[r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=6u(t) \]
可設特解為一常數,帶入方程可得特解為\(3\),則有
\[r(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t}+3 \tag{*} \]
由於右式有沖激函數,所以\(r^{''}(t)\)含有沖激函數,從而\(r^{'}(t)\)會發生跳變,幅度為\(2\),即
\[\begin{cases} r(0_+)=r(0_-)=2\notag\\ r^{'}(0_+)=r^{'}(0_-)+2=2\notag \end{cases} \]
將上式代入\((*)\),得系統的全響應為
\[r(t)=-e^{-2t}+3 \]
接下來求零輸入響應,根據特征根,可得
\[r_{zi}(t)=B_1e^{-t}+B_2e^{-2t} \]
帶入題目中得初始條件,求解整理可得
\[r_{zi}(t)=4e^{-t}-2e^{-2t} \]
零狀態響應等於全響應減去零輸入響應,即
\[r_{zs}(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3 \]
[離散系統單位樣值響應]
例四
已知某線性時不變系統的微分方程為\(y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=-2x(n)+x(n-1)\),且\(y(0)=1\),\(y(-1)=0\)求該系統得單位樣值響應.
解:先只考慮右邊只有\(\delta(n)\)的情況(類比連續時間系統求沖激響應的齊次解法),即為
\[h(n)-5h(n-1)+6h(n-2)=\delta(n) \]
易知
\[\hat{h}(n)=A_12^n+A_23^n\tag{*} \]
將邊界條件帶入\((*)\)式,可得
\[\hat{h}(n)=(-2\cdot2^n+3\cdot3^n)u(n) \]
根據微分方程右式形式可得
\[h(n)=-2\delta(n)+(3\cdot2^n-5\cdot3^n)u(n-1) \]
