裝箱問題(Bin Packing Problem)
裝箱問題即搬家公司問題。一個搬家公司有無限多的箱子，每個箱子的承重上限為W，當搬家公司進入一個房間時，所有物品都必須被裝入箱子，每個物品的重量為wi (i=1,...,m)，規划裝箱方式，使得使用的箱子最少。此文及所有本博客中的博文均為原創,本博客不轉發他人博文，特此聲明。
實例
一個海運公司有若干貨輪, 一個貨輪的最大載重量4000噸, 客戶貨物的重量是 1020T, 1930T, 3575T, 2861T, 4221T, 1541T, 2348T, and 1170T, 問如何分配貨物可以使總計需求的貨輪數量(航次) 最小。
建模
假設搬家公司帶來n個箱子，且n個箱子足夠裝入所有物品。設0-1變量x[i][j]表示第j個物品是否被安排裝入第i個箱子，0表示不裝入，1表示裝入。根據題意，任何物品必須被裝入某個箱子中，於是有約束：
sum{i=1,...,n} x[i][j] = 1 | j=1,...,m // (1)
如果箱子i有任何物品被裝入，則說該箱子被打開，並設0-1變量y[i]表示箱子i是否被打開（0-表示不打開，1-表示打開）。顯然目標是極小化打開箱子的數目，即：
min sum{i=1,...,n} y[i] //(2)
裝入箱子的物品重量和不能超過該箱子的承重，即：
sum{j=1,...,m} x[i][j] <= W*y[i] | i=1,...,n //(3)
上式表示當聚焦第i個箱子時，如果y[i]=0則任何x[i][j]都必須為0，亦即如果第i個箱子沒有被打開，則沒有物品可以裝入該箱子。反之，如果y[i]=1，則裝入該箱子的物品的重量和必須小於箱子的最大承重W。
綜合（1）-（3）, 裝箱問題模型的核心部分如下：
//-------------------------------------------------------
min sum{i=1,...,n} y[i] //(2)
subject to
sum{i=1,...,n} x[i][j] = 1 | j=1,...,m // (1)
sum{j=1,...,m} x[i][j]w[i] <= W*y[i] | i=1,...,n //(3)
//-------------------------------------------------------
添加where段對模型中常量符號和變量符號的說明
//-------------------------------------------------------
where
m,n are integers
W is a number
w is a set
x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,n;j=1,...,m
y[i] is a variable of binary|i=1,...,n
//-------------------------------------------------------
E、添加數據段
//-------------------------------------------------------
data
W=4000
w={1020， 1930，3575，2861，4221，1541，2348, 1170}
data_relation
m=_$(w) // <-- _\$(w) 函數給出集合w中的元素數。
n=m/2 // <-- 預備箱子數取為物體數的一半。
//-------------------------------------------------------
上面模型中，物品個數由求w中的元素數給出。預備箱子數給為物體數的一半。預備箱子數必須大於實際最優箱子數，否則問題無解。
CPLEX求解
求解模型，在Leapms環境中, 首先使用load命令調入並解析模型, 而后使用"cplex" 命令調用IBMC PLEX求解器完成求解.
如果你的leapms版本不支持cplex命令，可用savemps或者savelp保存成mps或lp模型，然后再用cplex求解（https://www.cnblogs.com/leapms/p/11846039.html）。
Leapms>load
Current directory is "ROOT".
.........
binpacking.leap
.........
lease input the filename:binpacking
===============================================================
: //-------------------------------------------------------
:
: min sum{i=1,...,n} y[i] //(2)
: subject to
: sum{i=1,...,n} x[i][j] = 1 | j=1,...,m // (1)
: sum{j=1,...,m} x[i][j]w[i] <= W*y[i] | i=1,...,n //(3)
: where
: m,n are integers
: W is a number
0: w is a set
1: x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,n;j=1,...,m
2: y[i] is a variable of binary|i=1,...,n
3: data
4: W=4000
5: w={1020M, 1930M, 3575M, 2861M, 4221M, 1541M, 2348M, 1170}
6: //w={1020， 1930，3575，2861，4221，1541，2348, 1170}
7: data_relation
8: m=_$(w)
9: n=m
0: //-------------------------------------------------------
===============================================================
>end of the file.
arsing model:
D
R
V
O
C
S
End.
.................................
umber of variables=72
umber of constraints=16
.................................
Leapms>cplex
You must have licience for Ilo Cplex, otherwise you will violate
corresponding copyrights, continue(Y/N)？
你必須有Ilo Cplex軟件的授權才能使用此功能，否則會侵犯相應版權，
是否繼續(Y/N)？y
Tried aggregator 1 time.
MIP Presolve eliminated 1 rows and 9 columns.
MIP Presolve modified 61 coefficients.
Reduced MIP has 15 rows, 63 columns, and 119 nonzeros.
Reduced MIP has 63 binaries, 0 generals, 0 SOSs, and 0 indicators.
Presolve time = 0.02 sec. (0.14 ticks)
Found incumbent of value 7.000000 after 0.08 sec. (0.32 ticks)
Probing time = 0.00 sec. (0.06 ticks)
Tried aggregator 1 time.
Reduced MIP has 15 rows, 63 columns, and 119 nonzeros.
Reduced MIP has 63 binaries, 0 generals, 0 SOSs, and 0 indicators.
Presolve time = 0.02 sec. (0.08 ticks)
Probing time = 0.00 sec. (0.06 ticks)
Clique table members: 43.
MIP emphasis: balance optimality and feasibility.
MIP search method: dynamic search.
Parallel mode: deterministic, using up to 4 threads.
Root relaxation solution time = 0.00 sec. (0.05 ticks)
Nodes Cuts/
Node Left Objective IInf Best Integer Best Bound ItCnt Gap
* 0+ 0 7.0000 0.0000 100.00%
* 0+ 0 4.0000 0.0000 100.00%
0 0 2.2824 5 4.0000 2.2824 8 42.94%
* 0+ 0 3.0000 2.2824 23.92%
0 0 cutoff 3.0000 2.2824 8 23.92%
Elapsed time = 0.20 sec. (0.72 ticks, tree = 0.00 MB, solutions = 3)
Root node processing (before b&c):
Real time = 0.22 sec. (0.72 ticks)
Parallel b&c, 4 threads:
Real time = 0.00 sec. (0.00 ticks)
Sync time (average) = 0.00 sec.
Wait time (average) = 0.00 sec.
------------
Total (root+branch&cut) = 0.22 sec. (0.72 ticks)
Solution status = Optimal
Solution value = 3
x1_1=1
x1_5=1
x1_8=1
x6_2=1
x6_7=1
x8_3=1
x8_4=1
x8_6=1
y1=1
y6=1
y8=1
求解結果為：文件分配方案是：第一航次運送1、5、8貨物；第二航次2、7貨物；第三航次3、4、6貨物。總計使用三個航次或三艘貨輪。