\(Splay\)的復雜度分析
不論插入，刪除還是訪問，我們可以發現它們的復雜度都和\(splay\)操作的復雜度同階，只是一點常數的區別
我們不妨假設有\(n\)個點的\(splay\)，進行了\(m\)次\(splay\)操作
采用勢能分析
我們記\(w(x) = \left \lceil \log_2 (size(x)) \right \rceil\)，注意以\(2\)為底和上取整
我們定義勢能函數為\(\varphi = \sum w(x)\)
（記第\(i\)次操作操作完之后，勢能為\(\varphi(i)\)）
只需要估計出\(\varphi(m) - \varphi(m - 1) + \varphi(m - 1) - \varphi(m - 2) ... + \varphi(1) - \varphi(0) + \varphi(0)\)的大小即可
（即初始勢能和每次的勢能變化量的和）
顯然，\(\varphi(0) \leqslant n \log n\)
\(splay\)操作的具體定義為：
如果父節點是根，那么旋轉一次
如果父節點和爺節點所處子樹方向一致，那么先旋轉父親再旋轉自己
否則，旋轉兩次自己
實際上可以歸結於\(zig\)，\(zag\)，\(zig-zig\)，\(zag-zag\)，\(zig-zag\)，\(zag-zig\)操作
由於\(zig\)和\(zag\)是對稱的操作
因此，只需要對\(zig\)，\(zig-zig\)，\(zig-zag\)操作分析復雜度即可
\(zig\)操作
勢能的變化量為\(1 + w'(x) + w'(fa) - w(x) - w(fa) \leq 1 + w'(fa) - w(x) \leq 1 + w'(x) - w(x)\)
\(zig-zig\)操作
勢能變化量為\(1 + w'(x) + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) - w(g)\)（縮小了常數的影響，但不能無視）
\(\leq 1 + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) \leq 1 + w'(x) + w'(g) - 2w(x)\)
這是神仙復雜度證明中非常神奇的地方，通過一些有趣的性質，讓常數項的代價合並到了勢能的變化中
我們不妨設\(a = w'(g), b = w(x)\)，那么注意到\(w'(x) = a + b + 1\)
由於$2w'(x) - w'(g) - w(x) = \left \lceil \log_2 (a + b + 1) \right \rceil - \left \lceil \log_2 a \right \rceil + \left \lceil \log_2 a + b + 1 \right \rceil - \left \lceil \log_2 b \right \rceil $
注意到\(a, b\)在上式中是對稱的，不妨設\(a \geq b\)
\(\geq \left \lceil \log_2 (a + b + 1) \right \rceil - \left \lceil \log_2 b \right \rceil \geq \left \lceil \log_2 (2b + 1) \right \rceil - \left \lceil \log_2 b \right \rceil \geq \left \lceil \log_2 b \right \rceil + 1 - \left \lceil \log_2 b \right \rceil \geq 1\)
因此有\(1 \leq 2w'(x) - w'(g) - w(x)\)，我們將\(1 + w'(x) + w'(g) - 2w(x)\)中的\(1\)放縮，可以得到
\(\leq 3(w'(x) - w(x))\)
\(zig-zag\)操作
勢能變化量為\(1 + w'(x) + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) - w(g) \leq 1 + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) \leq 1 + w'(g) + w'(fa) - 2w(x)\)
由上文的結論，我們知道這里可以把\(1\)放縮成\(1 \leq 2w'(x) - w'(g) - w'(fa)\)
因此\(\leq 2(w'(x) - w(x))\)
把以上三種操作的勢能全部放縮為\(\leq 3(w'(x) - w(x))\)
不妨假設\(splay\)一次，依次訪問了點\(x_1, x_2 ... x_n\)，最后\(x_1\)會成為新的根
那么，最后的勢能實際上是\(3(w'(x_1) - w(x_1) + w''(x_1) - w'(x_1) + .... + w(n) - w^{'''.....}(x_1)) + 1 = 3 * (w(n) - w(x_1)) + 1\leq log_2 n\)
因此，\(\varphi(m) - \varphi(m - 1) + \varphi(m - 1) - \varphi(m - 2) ... + \varphi(1) - \varphi(0) + \varphi(0) = n \log n + m \log n\)
即\(n\)個點的\(splay\)，做\(m\)次\(splay\)操作，復雜度為\(O(n \log n + m \log n)\)
\(LCT\)的復雜度分析
不咕了....
\(LCT\)的所有操作可以看做只有\(access\)操作，其他都是常數
那么\(access\)操作一共有兩部分
-
在\(splay\)中走的復雜度
-
訪問虛邊的復雜度
首先是在\(splay\)中走的復雜度
定義\(w(x) = \left \lceil \log_2 (size(x)) \right \rceil\)，\(size(x)\)指\(x\)的所有虛邊和實邊的子樹大小的和
我們定義勢能函數為\(\varphi = \sum w(x)\)
不妨設它依次訪問了\(x_1, x_2 ..., x_p\)
那么，類似上文\(splay\)的復雜度分析，我們可以得到總的一次勢能變化量為\(-w(x_1) +w(x_2) - w(x_2) + w(x_3) ... +w(x_p) + 1\leq w(x_p) + 1 = O(\log n)\)
這也就是\(splay\)的\(finger-search\)的性質
初始勢能為\(n \log n\)，因此這一部分的復雜度為\(O(n\log n + m \log n)\)
訪問虛邊的復雜度
我們定義勢能函數\(\phi\)，為所有重虛邊（兒子的子樹大小大於等於自己的二分之一的虛邊）的數量
那么，每次訪問至多走\(\log\)條輕虛邊，也就至多帶來\(\log\)條重虛邊，也就是以\(O(\log)\)的代價增加\(\log\)的勢能
而每次訪問一條重虛邊就需要付出\(O(1)\)的代價來減小\(1\)的勢能，並且訪問完重虛邊之后，不會有新的重虛邊產生
因此，最終的復雜度是初始勢能和勢能變化量（實際操作的代價和勢能變化量相同）的和，也就是\(O(n + m \log n)\)
因此，\(LCT\)的復雜度為\(O(n \log n + m \log n)\)