復雜度分析(上)

@(數據結構與算法)

1. 數據結構與算法本質上是解決程序運行速度快和存儲空間省的問題，所以需要通過一個指標，即時間、空間復雜度來衡量這個問題
2. 為什么需要復雜度分析

• 程序測試運行結果會受到測試環境的硬件影響
• 測試結果受數據規模的影響很大

3. 假設每行代碼的運行時間相同，則可得到所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。
4. 代碼塊：

1 int cal(int n){
2	int sum = 0;             	//執行 1 次
3	int i = 1:				 	//執行 1 次
4	int j = 1;				 	//執行 1 次
5	for(;i <= n;++i){		 	//執行 n 次
6		j = 1;				 	//執行 n 次
7		for(; j <= n; ++j){		//執行 n^2 次
8			sum = sum + i * j;	//執行 n^2 次
9		}
10	}
11 }

故上述代碼執行時間為 $ T(n) = (2n^2+2n+3) * time $ 。
5. 大 $O$ 時間復雜度公式：
$$ T(n) = O(f(n)) $$
其中，$T(n)$ 代表代碼執行時間；$n$ 表示數據規模大小；$f(n)$ 表示每行代碼執行的次數總和，$O$ 表示代碼的執行時間 $T(n)$ 與 $f(n)$ 表達式成正比。
大 $O$ 時間復雜度實際上並不表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢，當 $n$ 很大時，公式中的低階、常量、系數三部分並不做魚增長趨勢，所以都可以忽略。只需要記錄一個最大量級就可以了。
所以上面的 $T(n)$ 的時間復雜度為 $O(n^2)$。
6. 分析代碼時間復雜度的方法：

• 只關注循環執行次數最多的一段代碼。
• 加法法則：總復雜度等於量級最大的那段代碼的復雜度
• 乘法法則：嵌套代碼的復雜度等於嵌套內外代碼復雜度的乘積

1	int cal(int n){
2		int ret = 0;
3		int i = 1;
4		for (; i<n; ++i){
5		ret = ret + f(i)
6		}
7	}
8	
9	int f(int n){
10		int sum = 0;
11		int i = 1;
12		for(; i < n; ++i){
13			sum = sum + i;
14		}
15		return sum;
16	} 

單獨看 cal() 函數，假設 f(n) 只是一個普通的操作，則其 $T1(n) = O(n)$ 。但 f(n) 是一個函數，其時間復雜度是 $T2(n) = O(n)$，所以整個 cal() 函數的時間復雜度就是 ，$T(n) = T1(n)T2(n) = O(nn) = O(n^2)$
7. 常見的時間復雜度量級：

可粗路分為兩類：多項式量級和非多項式量級，其中，非多項式量級只有兩個：$O(2^n)$ 和 $O(n!)$。其中時間復雜度為非多項式量級的算法問題稱作 NP（Non-Deterministic Ploynomial,非確定多項式）問題。
當數據規模 n 越來越大是，非多項式量級算法的執行時間會急劇增加，是非常低效的算法。
其他的量級還有 $O(m +n)$，$O(m*n)$
8. 空間復雜度：類比一下時間復雜度，表示的算法的空間與數據規模之間的增長關系。

1 void print(int n) {
2  int i = 0;
3  int[] a = new int[n];
4  for (i; i <n; ++i) {
5    a[i] = i * i;
6  }

7  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
8    print out a[i]
9  }
10}

第 3 行申請了一個大小為 n 的 int 類型數組，剩下的代碼沒有占用更多的空間，所以整段代碼的空間復雜度就是 $O(n)$。
常用的空間復雜度就是 $O(1)$，$O(n)$，$O(n^2)$。

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參考自：極客時間《數據結構與算法之美 》專欄