一、淺談算法
學習軟件開發這么多年，常常聽到程序=數據結構+算法，但是很多人對這句話提出質疑，因為實際項目開發的時候大部分人是做螺絲釘的角色，而且大部分甘於做螺絲釘的角色，就會認為實際項目，只是完成業務開發而已，去哪都是增刪改查，數據結構根本用不到。我認為，算法和基本的數據結構是非常重要的，對於一個合格的程序猿來說，有時候我們沒有涉及到，只是別人把需要的事情都給我們做了，比如的java版本的hashmap，采用紅黑樹的結構，提高了更多效率，軟件開發高速發展的同時，編程的門檻也會越來越低，只有了解了最本質的才會不被技術淘汰。
算法的五大特性：
1.有窮性：不是數學，算法比較合理，每一步在規定時間內進行
2.確定性：每一條指令都有一個明確的含義
3.可行性：算法可以執行
4.輸入0或者多個
5.輸出 只有一個
算法設計的四大要求：
1.正確性
2.可讀性
3.健壯性：容錯能力，輸入數據非法的時候，不會產生的輸出結果
邊界問題 （數組的長度的判斷，非法字段，樹Root是否為空）
4.效率和存儲
注：1.研究算法的復雜度，側重的是研究算法隨着輸入規模擴大增長量的一個抽象，而不是精確定位執行多少次
2. 不關心編譯語言，不關心機器
所以我們應該用什么方式進行算法的度量方式呢？接下來我們聊聊時間復雜度
二、時間復雜度
1.概述
我們知道程序的效率可以稱之為程序的時間復雜度，通俗點說就是算法執行的時間，所以將算法中基本操作的執行次數作為算法時間復雜度的度量。
比如：如何求1+2+..... n的結果
第一種：O（n）
int sum=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
sum=sum+i;
}
第二種：O(1)
int i=0;
int sum=0;
sum =(1+n)*n/2;
上述的例子可以說明如果不同的策略對待同一個需求而已，時間復雜度是不一樣的，算法的優化，時間復雜度越低也是算法優化的目的之一。
時間復雜度：算法中基本語句重復執行的次數是問題規模n的某個函數f(n),算法的時間量度記作：\(T(n)=O(f(n))\)表示隨着n的增大，算法執行的時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱漸近時間復雜度。
函數的漸進增長：給定兩個函數，f(n).g(n)，如果存在一個整數N，使得對於所有的n>N,f(n)總是比g(n)大，那么我們說f(n)的增長漸進快於g(n)
上面討論的時間復雜度是官方解釋，仔細可以看時間復雜度可以表示漸進函數的抽象形式即可。
2.時間復雜度的記法：
1.大O記號 （常用）
假設\(f(n)和g(n)\)的定義域是非負整數，存在兩個正整數c和n0，使得n>n0的時候，\(f(n)≤c*g(n)\),則\(f(n)=O(g(n))\)。可見\(O(g(n))\)可以表示算法運行時間的上界。\(O(g(n))\)表示的函數集合的函數是階數不超過\(g(n)\)的函數。
例如：\(f(n)=2*n+2=O(n)\)
證明：
\(當n>3的時候，2*n +2<3n，所以可選n0=3,c=3，則n>n0的時候，f(n)<c*(n)，所以f(n)=O(n)。\)
現在再證明\(f(n)=2*n+2=O(n^2)\)
證明：\(當n>2的時候，2*n+2<2*n^2，所以可選n0=2,c=2,則n>n0的時候，f(n)<c*(n^2)，所以f(n)=O(n^2)。\)
同理可證\(f(n)=O(n^a)\)，a>1
2.Ω記號
\(f(n) > c*g(n)\)
Ω記號與大O記號相反，他可以表示算法運行時間的下界。\(Ω（g（n））\)表示的函數集合的函數是所有階數超過g(n)的函數。
例如：\(f(n)=2*n^2+3*n+2=Ω(n^2)\)
證明：\(當n>4的時候，2*n^2+3*n+2>n^2，所以可選n0=4,c=1,則n>n0的時候，f(n)>c*(n^2)，所以f(n)=Ω(n^2)。\)
同理可證\(f(n)=Ω(n),f(n)=Ω(1)\)
3.Θ記號
Θ記號介於大O記號和Ω記號之間。他表示，存在正常數c1,c2,n0，當n>n0的時候，\(c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)\)，則f\((n)=Θ(g(n))\)。他表示所有階數與g(n)相同的函數集合。
4.小o記號
\(f(n)=o(g(n))當且僅當f(n)=O(g(n))且f(n)≠Ω(g(n))\)。也就是說小o記號可以表示時間復雜度的上界，但是一定不等於下界。
5.例子
假設f(n)=2n^2+3n+5，
則f(n)=O(n^2)或者f(n) = O(n^3)或者f(n)=O(n^4)或者……
f(n)=Ω(n^2)或者f(n)=Ω(n)或者f(n)=Ω(1)
f(n)=Θ(n^2)
f(n) = o(n^3)或者f(n)=o(n^4)或者f(n)=o(n^5)或者……
3.時間復雜度類型
1.常數階
如上面的例子可以知道，執行次數是常數，可以定為O(1)
int i=0;
int sum=0;
sum =(1+n)*n/2;
2.線性階
如上述的例子可以知道，單次循環n，定為O(n)
int sum=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
sum=sum+i;
}
3.對數階
下面代碼就表示是\(O(logn)\)
while (left <= right) {
int mid = (left - right) / 2 + right;
if (target == nums[mid]) {
return mid;
} else if (target > nums[mid]) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
4.函數調用
main方法調用外部方法，兩個方法都是一層循環，則\(O(n^2)\)
int main(int argc, char *argv[])
{
for(int i=0;i<n;i++){
fun(n);
}
}
void fun(int count){
for(int i=0;i<count;i++){
printf();
}
}
常見時間復雜度的比較：
$ O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)...<O(n!)<O(n^n)$
4. 時間復雜度的計算
1.計算規則
1） 加法規則
\(T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) ) \)
- 乘法規則
\(T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m)) \)
\(O(n)*O(m)=O(n*m)\)
3)一個特例
在大O表示法里面有\(T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )\). 一個特例，如果\(T1(n) ＝ O(cf(n))\)， c是一個與n無關的任意常數，$T2(n) = O ( f(n) ) $則有
總結：
1.用常數1取代所有的加法常數 t(n)=5 O(1)
2.修改后的函數中，只保留最高階數
3.如果最高階數的常數部分存在不是1，變成1。
比如：
\(T(n) = n^3 + n^2 + 29，此時時間復雜度為 O(n^3)。 T(n) = 3n^3，此時時間復雜度為 O(n^3)\)。
2.主定理
在算法分析中，主定理（英語：master theorem）提供了用漸近符號（大O符號）表示許多由分治法得到的遞推關系式的方法。這種方法最初由Jon Bentlery，Dorothea Haken和James B. Saxe在1980年提出，在那里被描述為解決這種遞推的“天下無敵法”(master method)。此方法經由經典算法教科書Cormen，Leiserson，Rivest和Stein的《算法導論》 (introduction to algorithm) 推廣而為人熟知
解釋： 上面的主定理就是根據遞歸式，我們需要找到它的時間復雜度，這里為了不區別其他的表示法，全部記為大O表示法，
例子1:
假設問題規模為N，某一個遞歸算法的時間程度記T(N)，已知T(1) = 0,T(N) = T(N/2) + N,求用O表示該算法的時間復雜度？
分析：直接套用公式可知，a = 1， b = 2 ,f(n) = N , 主定理主要和\(n^{\log_b a}\)做比較，帶入可得 \(n^{\log_b a}= 1\) 。
所以f（n）> \(n^{\log_b a}\) ,符合條件三，所以T（n） = O(n)。
例子2:
假設問題規模為N，某一個遞歸算法的時間程度記T(N)，已知T(1) = 0,T(N) = 2T(N/2) + N/2,求用O表示該算法的時間復雜度？
分析：直接套用公式可知，a = 2， b = 2 ,f(n) = N/2 , 主定理主要和\(n^{\log_b a}\)做比較，帶入可得 \(n^{\log_b a}= n\) 。
這里需要注意，f（n）和\(n^{\log_b a}\)做比較 ，比較的是它們的漸近增長率，所以f（n）= \(n^{\log_b a}\) ,符合條件二，都是一次函數，所以T（n） = O(nlogn)。
例子3:
求下面代碼的時間復雜度：
void Hanoi(int n, char a, char b, char c)//a為原始柱，b為借助柱,c為目標柱
{
if (n == 1)
{
Move(a, c);//只有一個盤子時直接移
}
else
{
Hanoi(n - 1, a, c, b);//將A柱子上n-1個盤子借助C柱子移到B上
Move(a, c);//將A最后一個盤子移到C上
Hanoi(n - 1, b, a, c);//將B柱子借助空A柱子移到C上
}
}
分析：我們可以看出，用遞歸來解決漢諾塔問題是非常方便的選擇，最后我們來分析一下漢諾塔問題的時間復雜度。
設盤子個數為n時，需要T（n)步，把A柱子n-1個盤子移到B柱子，需要T（n-1)步，A柱子最后一個盤子移到C柱子一步，B柱子上n-1個盤子移到C柱子上T（n-1)步。 得遞推公式T（n）=2T（n-1)+1 。這個遞推式子不符合主定理，所以需要運用高中的基礎數學知識，
由遞推式可以知道，湊方法，湊成等比數列，湊成通項公式 \(O（2^n）\)
例子4:
假設問題規模為N，某一個遞歸算法的時間程度記T(N)，已知T(1) = 0,T(N) = T(N- 1) + N,求用O表示該算法的時間復雜度？
分析：首先要看主定理的限定的條件，b > 1 才可以執行這個主定理，這里需要\(T(N) = T(N- 1) + N 變成 T(N) - T(N- 1) = N。 可以T（1） ，T（2） .... T(N) 疊加后可以算出T（N）的通項公式。 可以計算O（n^2）\)
三、空間復雜度
類比於時間復雜度的討論，一個算法的空間復雜度是指該算法所耗費的存儲空間，計算公式計作：S(n) = O(f(n))。其中 n 也為數據的規模，f(n) 在這里指的是 n 所占存儲空間的函數。一般情況下，我們的程序在機器上運行時，刨去需要存儲程序本身的輸入數據等之外，還需要存儲對數據操作的「存儲單元」。如果輸入數據所占空間和算法無關，只取決於問題本身，那么只需要分析算法在實現過程中所占的「輔助單元」即可。如果所需的輔助單元是個常數，那么空間復雜度就是 O(1)。
吐槽：
我被博客園的markdown的編輯器弄瘋了，花了我好長時間，我只是想排版好看一點，就用數學公式進行，而不是用圖片的方式，結果博客園不支持$$ 解析，當然官方博客也給了解決方案，但是沒用好嗎？對於不是整段的數學公式是不起作用的 ，https://www.cnblogs.com/cmt/p/markdown-latex.html
正確做法：加入這個放入文章內
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default"></script>```
，MathJax可以解析Latex、MathML和ASCIIMathML的標記語言，就可以用$ 解析了，使用就是正常的。
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參考：
https://www.jianshu.com/p/f4cca5ce055a
https://blog.csdn.net/qq_33274645/article/details/52688025
https://mp.weixin.qq.com/s/9njtnqfAatjmjPh4geETqA
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