算法的漸進運行時間（時間復雜度）

算法的漸進運行時間（時間復雜度）

漸進記號

用來表示算法的漸進運行時間的記號是用定義域為自然數集N={0,1,2，...}的函數來定義的這些記號便於用來表示最壞情況運行時間T(n)，因為T(n)一般定義於整數的輸入規模上。有以下5種：

Θ記號  漸進確界

ο記號  漸進上界

Ω記號  漸進下界

º記號  非漸進緊確的上界

ω記號  非漸進緊確的下界

 

Θ記號

Θ(g(n))={f(n)：存在正常數c₁，c₂，和n₀，使得對所有n≥n₀，有0≤c₁g(n)≤f(n)≤c₂g(n)}，對任意一個函數f(n)，若存在正常數c₁，c₂，使當n充分大時，f(n)能被夾在c₁g(n)和c₂g(n)之間，則f(n)屬於集合Θ(g(n))。因為Θ(g(n))是一個集合，可以寫成“f(n)∈Θ(g(n))”，表示f(n)是Θ(g(n))的元素。不過，通常寫成“f(n)=Θ(g(n))”來表示相同的意思。

因為任意一個常數都是0次的多項式，故可以把任何常函數表示成Θ(n⁰)或Θ(1)。我們經常使用Θ(1)表示一個常數或某變量的常函數。

 

ο記號

Θ記號漸進地給出一個函數的上界和下界。當只有漸進上界時，使用ο記號。對一個函數g(n)，用ο(g(n))表示一個函數集合ο(g(n))={f(n)：存在正常數c和n₀，使得對所有n≥n₀，有0≤f(n)≤cg(n)}，讀作g(n)的大ο。ο記號在一個常數因子范圍內給出某函數的一個上界。對於所有n₀右邊的n值，f(n)的值都在cg(n)以下。

 

Ω記號

正如ο記號給出一個函數的漸進上界，Ω記號給出一個函數的漸進下界。Ω(g(n))={f(n)：存在正常數c和n₀，使得對所有n≥n₀，有0≤cg(n)≤f(n)}，讀作g(n)的大Ω。

 

º記號 

 

ω記號

***以上圖片摘自《算法導論》P28***