以插入排序為例子帶你徹底理解算法中的時間復雜度和各種漸進符號

　　准備考研的過程中，復習數據結構和算法時先看的是嚴蔚敏老師的《數據結構》,這本書雖然好但是對時間復雜度和算法的漸進性講解太少，讀完之后對其依然沒有深刻的理解，於是開始啃《算法導論》，不得不說這本書很難啃，但是確實啃清楚了算法的時間復雜度和漸進性。這篇博客我會用到初中程度的代數知識來幫助大家徹底理解。

　　我選擇插入排序作為例子因為這個算法的思路足夠簡單，可以很容易的分析出最好情況和最壞情況。我們先來看一下插入排序的偽代碼，我使用C++來書寫代碼，有注釋:

//插入排序的算法思路很簡單，聯想打撲克牌時理順手中牌的時候，你從左往右依次檢查你的牌，並將其和前面的牌進行比較，然后將其插入正確的位置
void insertion_sort(int arr[],int length){                                        
    int key;//key作為當前你所檢查的這張牌，為了方便表達我們稱之為 關鍵牌      
    for(int i=1;i<length;i++){//從第二張牌開始，一直迭代到最后一張牌
        key = arr[i];//將本次需要排序的牌拿出，作為關鍵牌
        int j = i-1;//從關鍵牌的前一張開始往前檢查，對比大小
 
        //當被對比的牌比關鍵牌大時，關鍵牌前面所有的牌都比關鍵牌大時，把牌往后挪動一個位置
        while(j>-1 && arr[j] > key){
            arr[j+1] = arr[j];
            j--;
        }
 
        arr[j+1] = key;//將關鍵插入正確的位置
    }
 }

那么我們該如何知道，這段代碼在實際執行時所花費的時間呢？當然可以上機測試，但是那樣是經驗論者和低端玩家干的事情，這里我們需要一些簡單的數學知識和邏輯分析就能算出運行時間，我們假設，這次共排序一個長度為n的數組，那么每句代碼執行所需要的時間代價和執行次數可以用下表表示：

代碼　　　　　　　　　　　　　　　　　　時間代價　　　　　　　　　　　　　　　　執行次數

int key                         　c1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1次

int i=1;i<length;i++　　　　　　　　c2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 n次

key = arr[i]　　　　　　　　　　　　 c3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 n-1次

int j = i-1　　　　　　　　　　　　　c4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 n-1次

while(j>-1 && arr[j] > key)　　　c5　　　這里我們無法判斷具體的執行次數，但是知道外層循環要執行n-1次，假設第i次循環中這里執行k(i)次，那么共執行k(1)+k(2)+...+k(n-1)次

arr[j+1] = arr[j]　　　　　　　　　c6　　　　　　　　　　　循環內的語句總比循環數少1，於是共執行(k(1)-1)+(k(2)-1)+...+(k(n-1)-1)次

j--;　　　　　　　　　　　　　　　　　c7　　　　　　　　　　　同理，共執行(k(1)-1)+(k(2)-1)+...+(k(n-1)-1)次

arr[j+1] = key　　　　　　　　　　　c8　　　　　　　　　　　　n-1次