關於時間復雜度~

首先：借鑒前人大佬！感謝！本文只做整理

http://www.matrix67.com/blog/archives/105

 

首先在文中介紹了時間復雜度O，本身自己對於這個有所遺忘，並且本身在算法課上學的不咋地，正好借此梳理一下。

下面給出百度百科關於時間復雜的定義：

在計算機科學中，算法的時間復雜度是一個函數，它定性描述了該算法的運行時間。這是一個關於代表算法輸入值的字符串的長度的函數。時間復雜度常用大O符號表述，不包括這個函數的低階項和首項系數。

百度百科關於時間復雜度的計算方法：

一般，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得T(n)/f(n)的極限值（當n趨近於無窮大時）為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))，稱O(f(n)) 為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。

分析：隨着模塊n的增大，算法執行的時間的增長率和 f(n) 的增長率成正比，所以 f(n) 越小，算法的時間復雜度越低，算法的效率越高。

2. 在計算時間復雜度的時候，先找出算法的基本操作，然后根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出 T(n) 的同數量級（它的同數量級有以下：1，log2n，n，n log2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出后，f(n) = 該數量級，若 T(n)/f(n) 求極限可得到一常數c，則時間復雜度T(n) = O(f(n))

例：算法：

for(i=1; i<=n; ++i)
{
    for(j=1; j<=n; ++j)
    {
        c[i][j] = 0;//該步驟屬於基本操作執行次數：n的平方次
        for(k=1; k<=n; ++k)
            c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];//該步驟屬於基本操作執行次數：n的三次方次
    }
}

 

則有    ，根據上面括號里的同數量級，我們可以確定 n的三次方 為T（n）的同數量級則有

   

，然后根據 T(n)/f(n) 求極限可得到常數c則該算法的時間復雜度：T(n) = O(n^3) 注：n^3即是n的3次方。

3.在pascal中比較容易理解，容易計算的方法是：看看有幾重for循環，只有一重則時間復雜度為O(n)，二重則為O(n^2)，依此類推，如果有二分則為O(logn)，二分例如快速冪、二分查找，如果一個for循環套一個二分，那么時間復雜度則為O(nlogn)。

引文中給出了如下的解釋，我覺得受益良多。

時間復雜度不是表示程序解決一個問題所花費的時間，而是表示，當問題規模擴大后，程序需要的時間長度增長有多快。也就是，對於計算機，處理某一個特定數據的效率不能衡量程序的好壞，而應該看這個數據規模擴大到數百倍后程序的運行時間是否一樣？或者是否變慢了？

不管數據多大，程序處理畫的時間始終是那么多的，我們就說這個程序時好的，具有O(1)的時間復雜度，稱常數級復雜度。數據規模變得多大，花的時間變得多長，這個程序的復雜度就是O(n)，比如找N個數中最大的；而像冒泡排序、插入排序等，數據擴大2倍，時間變慢4倍的，屬於O(n^2)的復雜度。還有一些窮舉類的算法，所需時間長度成幾何階數上漲，這就是O(a^n)的指數級復雜度，甚至O(n!)的階乘級復雜度。不會存在O(2*n^2)的復雜度，因為前面的那個“2”是系數，根本不會影響到整個程序的時間增長。同樣地，O (n^3+n^2)的復雜度也就是O(n^3)的復雜度。因此，我們會說，一個O(0.01*n^3)的程序的效率比O(100*n^2)的效率低，盡管在n很小的時候，前者優於后者，但后者時間隨數據規模增長得慢，最終O(n^3)的復雜度將遠遠超過O(n^2)。我們也說，O(n^100)的復雜度小於O(1.01^n)的復雜度。

容易看出，前面的幾類復雜度被分為兩種級別，其中后者的復雜度無論如何都遠遠大於前者：一種是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我們把它叫做多項式級的復雜度，因為它的規模n出現在底數的位置；另一種是O(a^n)和O(n!)型復雜度，它是非多項式級的，其復雜度計算機往往不能承受。當我們在解決一個問題時，我們選擇的算法通常都需要是多項式級的復雜度，非多項式級的復雜度需要的時間太多，往往會超時，除非是數據規模非常小。