射影變換、仿射變換、歐式變換、相似變換、等距變換

射影變換組成了一個群，這個群被稱為射影變換群。仿射變換是射影變換的子群。歐式變換（旋轉+平移+等比縮放）是仿射變換的子群。相似變換和等距變換則是歐式變換的子群。

 

0.射影變換

定義

由有限次中心射影的積定義的兩條直線間的一一對應變換稱為一維射影變換。由有限次中心射影的積定義的兩個平面之間的一一對應變換稱為二維射影變換。

性質——交比不變性

如果平面上點場的點建立了一個一一對應，並且滿足：

（1）任何共線三點的象仍是共線三點；

（2）共線四點的交比不變。

則這個一一對應叫做點場的射影變換，簡稱射影變換。

矩陣表示

用H表示，H為3×3的可逆實矩陣，雖然有9個未知數，但只有8個自由度（只與具體比率有關），其中h31與h32不為0是它與仿射變換的本質區別，它使得仿射變換的非線性效應。可以把一個H分解為：H=SAP,其中S為相似變換，A為仿射變換，P為射影變換。變換前后共點，共線，交比，相切，拐點，切線的不連續性和岐點保持不變。

注：n×n可逆實矩陣稱為一般線性群GL(n)，當把相差非零純量因子的矩陣都視為等同時，便得到射影映射群，記為PL(n)，在平面射影變換時為PL(3)。

射影變換矩陣表示：

H = {  h11, h12, h13

       h21, h22, h23

       h31, h32, h33  }

其中當最后一行為（0，0，1）時的變換為仿射變換，在仿射的前提下，當左上角2×2矩陣正交時為歐式變換，左上角矩陣行列式為1時為定向歐式變換。

 

1、等距變換：

它相當於是平移變換和旋轉變換的復合，用R表示變換矩陣，R為3×3矩陣，

     R={{r11,r12,tx},{r21,r22,ty},{0,0,1}}

左上角2×2矩陣為旋轉部分，tx和ty為平移因子，它有三個自由度，即旋轉，x方向平移，y方向平移。等距變換前后長度，面積，線線之間的角度都不變。

 

2.相似變換

它相當於是等距變換和均勻縮放的一個復合，用S表示變換矩陣，S為3×3矩陣，

    S={{s*r11,s*r12,tx},{s*r21,s*r22,ty},{0,0,1}}

左上角2×2矩陣為旋轉部分，tx和ty為平移因子，它有4個自由度，即旋轉，x方向平移，y方向平移和縮放因子s。相似變換前后長度比，夾角，虛圓點I,J保持不變（其實想到以前學的相似三角形的情況就行了）。

 

3.仿射變換

它相當於一個平移變換和一個非均勻變換的復合，用A矩陣表示，A為3×3矩陣，

A={{a11,a12,tx},{a21,a22,ty},{0,0,1}}    其中A可以分解為：A=R(a)R(-b)DR(b)，其中D={{c1,0},{0,c2}}

左上角2×2矩陣為旋轉部分，tx和ty為平移因子，它有6個自由度，即旋轉4個，x方向平移，y方向平移。他能保持平行性，不能保持垂直性，Image中各部分變換前后面積比保持不變，共線線段或者平行線段的長度比保持不變，矢量的線性組合不變。面積被縮放了c1*c2=detA倍。

 

    

   總結：仿射變換位於射影變換和相似變換之間，仿射變換推廣相似變換使得夾角不再保持不變，造成物體形狀在變換后產生歪斜