前言：
摘抄自wiki的關於仿射變換的定義：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2
仿射變換，又稱仿射映射，是指在幾何中，一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移，變換為另一個向量空間。
一個對向量
平移
，與旋轉放大縮小
的仿射映射為
【1】
1、移位加密：
比方說：把字母表全部向右循環移1位，也就是A變成B，B變成C，... ， Z變成A。
用數學一點的術語我覺得所謂“移位”就是映射吧。
那么我們可以寫出通解公式，——現在是已知明文和加密步驟，進行加密，也就是求密文。
New = (Old + k) (mod table) 【2】
注釋：
New：要求的密文
Old ：明文
k ：移位的位數
table：這張表有多大，比方說字母表就是26個字母，table就是26.
2、仿射變換：
移位加密和仿射變換有啥關系呢？
額 ，因為移位加密就是一種放射變換。。。
首先我們在1里面的變量命名現在改一下，以便更好地認識，變成：
y = (x + b)(mod m) 【3】
是不是和【1】很像啦，可惜我們的x沒有系數。。
但是沒關系，我們完全可以自己加上一個系數，把【3】變成：
y = (ax + b)(mod m) a,b為整數； 【4】
這樣已經很像了，只不過【1】里面的自變量是向量。
但是，我們這里討論的是一維的變換，所以不用用到2維及其以上的向量。（一維數字標記的向量就是普通的數嘛……）
3、知道了1、2這些，我們現在的目標就是——
"當知道一個一維的仿射變換的加密，
a. 怎么把明文加密
b. 怎么把密文解密 "
對於"a. 怎么把明文加密"，我們已經解決了，就是【4】那個公式。
對於"b. 怎么把密文解密"嘛，其實也不復雜。待我不快不慢地說來。
首先由【4】我們可以得到什么？
沒錯！就是 y ≡ (ax + b)(mod m) —— 這是明顯的事實不用證明了。
然后正視一下題目是什么：我們現在已知a,b,y,m，要求x。
1). 左右移位一下 ,變為 y-b ≡ (ax)(mod m) 【5】
{為啥【5】是對的？
首先同余式可以相加，
即 若 a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)， 【*】
那么(a + c) ≡ (b + d)(mod m) .
——同余式可以相加的證明用同余的定義就好……
然后 y ≡ (ax + b)(mod m)
-b ≡ -b (mod m)
所以……
}
2). 已知y-b ≡ (ax)(mod m)，x未知，求x.
現在已知ax ≡(y-b) (mod m)；
{首先我們要知道 同余式可以相乘，若【*】，則 ac ≡ bd (mod m) .證明同樣可以基於同余定義。}
這時候我們就腦補了，如果有一個c能使得 cax ≡ x ≡ c(y-b) (mod m)就好了！
也就是說這個c如果能使得ca = 1或者 更寬一點的：ca ≡ 1(mod m).那么就解決了！
3). 於是問題變成了：找一個c使得，ca ≡ 1(mod m)
於是很容易聯系到費馬小定理、歐拉定理一類的。
但是費馬小定理要求m一定要是素數，這樣和我們題目不符。
所以看看歐拉定理，對 gcd(a,m) = 1(m>1)，有aΦ(m) ≡ 1 (mod m)
{Φ(m) 為歐拉函數，就是小於等於m的與m互素的正整數個數。如Φ(2) = 1 ，Φ(6) = 2——6與{1,5}互素。}
所以如果ca = aΦ(m) ，那么就有ca ≡ 1(mod m)。
於是c = aΦ(m)-1 . 但是gcd(a,m) = 1，這一點不能漏。
4、綜上，我們發現了，當c = aΦ(m)-1 時 ；
cax ≡c(y-b) (mod m)
化為 x ≡c(y-b) (mod m) {現在要附加gcd(a,m)=1這個條件了！}
5、那么對於仿射變換，
我們知道變化規則[即位移b]后，如何把密文[y]翻譯成明文[x]呢？
結論是：
step 1. 求 c = aΦ(m)-1
step 2. x ≡c(y-b) (mod m)
番外小劇場：
窩：你在2里面為啥要改名字？該問題純屬好奇！
big窩：此中原因有2——
1. 如文中所說，為了更直觀地比較。
2. 也是最根本的原因——變量命名如此之平凡，根本不是我的feel！OK？
窩：......
窩：第二個問題——你怎么知道同余式符合相加相乘原理？你怎么想到的？
big窩： 首先"同余式符合相加相乘原理"這個結論在數論里就像是實數有相加相乘的運算一樣自然，如果想不到那么你需要找一本數論的書看看，不需要看完這就足以變成你的常識。至於怎么想到的，如果給你一堆數，你能想到的最基本的運算就是做加減乘除了吧？
窩：恩……好像是的……
big窩：那不就得了，說了同余式符合相加相乘原理是同余式的基本運算。
窩：……哦……