0 范數、1 范數、2 范數有什么區別？

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作者：魏通
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向量范數

1-范數：

$||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|$ ，即向量元素絕對值之和，matlab調用函數norm(x, 1) 。

2-范數：

$||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}$ ，Euclid范數（歐幾里得范數，常用計算向量長度），即向量元素絕對值的平方和再開方，matlab調用函數norm(x, 2)。

$\infty$ -范數： $||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|$ ，即所有向量元素絕對值中的最大值，matlab調用函數norm(x, inf)。

$-\infty$ -范數： $||\textbf{x}||_{-\infty}=\min_i|x_i|$

，即所有向量元素絕對值中的最小值，matlab調用函數norm(x, -inf)。

p-范數： $||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$
，即向量元素絕對值的p次方和的1/p次冪，matlab調用函數norm(x, p)。

矩陣范數

1-范數： $||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|$
，列和范數，即所有矩陣列向量絕對值之和的最大值，matlab調用函數norm(A, 1)。

2-范數： $||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}$ ， $\lambda<br/>$ 為 A^TA 的最大特征值。

，譜范數，即A'A矩陣的最大特征值的開平方。matlab調用函數norm(x, 2)。

$\infty$ -范數： $||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|$

，行和范數，即所有矩陣行向量絕對值之和的最大值，matlab調用函數norm(A, inf)。

F-范數： $||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}$

，Frobenius范數，即矩陣元素絕對值的平方和再開平方，matlab調用函數norm(A, ’fro‘)。

核范數： $||A||_* = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i, \lambda_i$ 是A的奇異值。

即奇異值之和。

編輯於 2016-06-16

你是問向量范數還是矩陣范數？
要更好的理解范數，就要從函數、幾何與矩陣的角度去理解，我盡量講的通俗一些。
我們都知道，函數與幾何圖形往往是有對應的關系，這個很好想象，特別是在三維以下的空間內，函數是幾何圖像的數學概括，而幾何圖像是函數的高度形象化，比如一個函數對應幾何空間上若干點組成的圖形。
但當函數與幾何超出三維空間時，就難以獲得較好的想象，於是就有了映射的概念，映射表達的就是一個集合通過某種關系轉為另外一個集合。通常數學書是先說映射，然后再討論函數，這是因為函數是映射的一個特例。
為了更好的在數學上表達這種映射關系，（這里特指線性關系）於是就引進了矩陣。這里的矩陣就是表征上述空間映射的線性關系。而通過向量來表示上述映射中所說的這個集合，而我們通常所說的基，就是這個集合的最一般關系。於是，我們可以這樣理解，一個集合（向量），通過一種映射關系（矩陣），得到另外一個幾何（另外一個向量）。
那么向量的范數，就是表示這個原有集合的大小。
而矩陣的范數，就是表示這個變化過程的大小的一個度量。

那么說到具體幾幾范數，其不過是定義不同，一個矩陣范數往往由一個向量范數引出，我們稱之為算子范數，其物理意義都如我上述所述。

以上符合知乎回答問題的方式。

接下來用百度回答方式：

0范數，向量中非零元素的個數。

1范數，為絕對值之和。

2范數，就是通常意義上的模。

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