（一）主定理
對於$$T(N)=a*T(N/b)+\Theta(N^d)$$
且\(T(1)\)為常數，有
1.$\log_b a>d ⇒ \(復雜度為 \)\Theta(N^{\log_b a})$
2.$\log_b a=d ⇒ \(復雜度為 \)\Theta(N^d* \log N)$
3.$\log_b a<d ⇒ \(復雜度為 \)\Theta(N^d)$
加強版
以下 \(O(N)\) 為復雜度上界， \(\Theta(N)\) 為復雜度確界， \(\Omega(N)\) 為復雜度下界。
對於$$T(N)=a*T(N/b)+f(N)$$
且\(T(1)\)為常數，有
1.$f(N)=O(N^d),\log_b a>d ⇒ \(復雜度為 \)\Theta(N^{\log_b a})$
2.$f(N)=\Theta (N^d \log^k n),k\geq 0,\log_b a=d ⇒ \(復雜度為 \)\Theta(N^d \log^{k+1} N)$
3.$f(N)=\Omega (N^d),\log_b a<d ⇒ \(復雜度為 \)\Theta(N^d)$
例題
（以下\(T(1)\)都為常數）
1. 設某算法時間復雜度可表示為\(T(n)=9T(n/3)+n^2\)，求該算法時間復雜度。
解：
由題意得：$$a=9$$$$b=3$$$$d=2$$
所以$$\log_ba=\log_39=2=d$$
所以是第二種情況，復雜度為\(\Theta(n^2\log n)\)
2. 設某算法時間復雜度可表示為\(T(n)=T(2n/3)+n\)，求該算法時間復雜度。
解：
由題意得：$$a=1$$$$b=\frac{3}{2}$$$$d=1$$
所以$$\log_ba=\log_{\frac{3}{2}}1=0<d=1$$
所以是第三種情況，復雜度為\(\Theta(n)\)
3. 設某算法時間復雜度可表示為\(T(n)=3T(\sqrt n)+\log n\)，求該算法時間復雜度。
解：
\(T(n)=3T(n^{\frac{1}{2}})+\log n\)
\(<=>T(2^n)=3T(2^{\frac{n}{2}})+n\)
設\(t(n)=T(2^n)\)，則\(t(n)=3t(n/2)+n\)
由題意得：$$a=3$$$$b=2$$$$d=1$$
所以$$\log_ba=\log_23≈1.58>d=1$$
所以是第三種情況，\(t(n)\)的復雜度為\(O(n^{\log_23})\)
所以\(T(n)\)的復雜度為\(\Theta(\log(n^{\log_23}))\)。
4. 設某算法時間復雜度可表示為\(T(n)=2T(n/5)+\log n\)，求該算法時間復雜度。
解：
易得\(\log n\)的一個上界是\(\Theta(n^k)(0<k<\log_5 2)\)，那么是第一種情況，\(T(n)\)的復雜度為\(\Theta(n^{\log_5 2})\)。
（二）遞歸樹
考慮遞歸式$$T(n)=2T(n/2)+n^2$$
可將其化為$$T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2$$
於是可以畫一棵遞歸樹，對於一個節點，節點的值為非函數項，再將式中每一個函數項向下迭代，式中有幾個函數項，遞歸樹就是幾叉樹，且有\(\log n\)層，把每一行所有節點的和寫在右邊，如下圖所示。
然后，右邊所有數之和（一個含\(n\)的表達式）即為該式的復雜度。
如圖，該圖中右邊所有數之和為$$(1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...)* n^2=2n^2$$
所以，\(T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2\)的時間復雜度為\(\Theta(n^2)\)
例題
1. 計算遞歸式\(T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+n\)的復雜度。
解：
遞歸樹如下圖所示
右邊所有數之和為$$(\log_{\frac{3}{2}}n+1)*n$$
所以，\(T(n)\)的時間復雜度為\(\Theta(n\log n)\)