（一）主定理
对于$$T(N)=a*T(N/b)+\Theta(N^d)$$
且\(T(1)\)为常数，有
1.$\log_b a>d ⇒ \(复杂度为 \)\Theta(N^{\log_b a})$
2.$\log_b a=d ⇒ \(复杂度为 \)\Theta(N^d* \log N)$
3.$\log_b a<d ⇒ \(复杂度为 \)\Theta(N^d)$
加强版
以下 \(O(N)\) 为复杂度上界， \(\Theta(N)\) 为复杂度确界， \(\Omega(N)\) 为复杂度下界。
对于$$T(N)=a*T(N/b)+f(N)$$
且\(T(1)\)为常数，有
1.$f(N)=O(N^d),\log_b a>d ⇒ \(复杂度为 \)\Theta(N^{\log_b a})$
2.$f(N)=\Theta (N^d \log^k n),k\geq 0,\log_b a=d ⇒ \(复杂度为 \)\Theta(N^d \log^{k+1} N)$
3.$f(N)=\Omega (N^d),\log_b a<d ⇒ \(复杂度为 \)\Theta(N^d)$
例题
（以下\(T(1)\)都为常数）
1. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=9T(n/3)+n^2\)，求该算法时间复杂度。
解：
由题意得：$$a=9$$$$b=3$$$$d=2$$
所以$$\log_ba=\log_39=2=d$$
所以是第二种情况，复杂度为\(\Theta(n^2\log n)\)
2. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=T(2n/3)+n\)，求该算法时间复杂度。
解：
由题意得：$$a=1$$$$b=\frac{3}{2}$$$$d=1$$
所以$$\log_ba=\log_{\frac{3}{2}}1=0<d=1$$
所以是第三种情况，复杂度为\(\Theta(n)\)
3. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=3T(\sqrt n)+\log n\)，求该算法时间复杂度。
解：
\(T(n)=3T(n^{\frac{1}{2}})+\log n\)
\(<=>T(2^n)=3T(2^{\frac{n}{2}})+n\)
设\(t(n)=T(2^n)\)，则\(t(n)=3t(n/2)+n\)
由题意得：$$a=3$$$$b=2$$$$d=1$$
所以$$\log_ba=\log_23≈1.58>d=1$$
所以是第三种情况，\(t(n)\)的复杂度为\(O(n^{\log_23})\)
所以\(T(n)\)的复杂度为\(\Theta(\log(n^{\log_23}))\)。
4. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=2T(n/5)+\log n\)，求该算法时间复杂度。
解：
易得\(\log n\)的一个上界是\(\Theta(n^k)(0<k<\log_5 2)\)，那么是第一种情况，\(T(n)\)的复杂度为\(\Theta(n^{\log_5 2})\)。
（二）递归树
考虑递归式$$T(n)=2T(n/2)+n^2$$
可将其化为$$T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2$$
于是可以画一棵递归树，对于一个节点，节点的值为非函数项，再将式中每一个函数项向下迭代，式中有几个函数项，递归树就是几叉树，且有\(\log n\)层，把每一行所有节点的和写在右边，如下图所示。
然后，右边所有数之和（一个含\(n\)的表达式）即为该式的复杂度。
如图，该图中右边所有数之和为$$(1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...)* n^2=2n^2$$
所以，\(T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2\)的时间复杂度为\(\Theta(n^2)\)
例题
1. 计算递归式\(T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+n\)的复杂度。
解：
递归树如下图所示
右边所有数之和为$$(\log_{\frac{3}{2}}n+1)*n$$
所以，\(T(n)\)的时间复杂度为\(\Theta(n\log n)\)